齊齊哈爾大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractIII</p><p><b>　　緒論- 4 -</b></p><p>　　第1章 相關(guān)概念知識(shí)- 6 -</p><

2、;p>　　1.1 預(yù)備知識(shí)- 6 -</p><p>　　1.2 無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘母拍? 6 -</p><p>　　1.2.1 無(wú)窮積分收斂與發(fā)散- 6 -</p><p>　　1.2.2 無(wú)窮積分與級(jí)數(shù)- 8 -</p><p>　　1.2.3 無(wú)窮積分的性質(zhì)- 9 -</p><p>　　1.

3、2.4 絕對(duì)收斂與條件收斂- 9 -</p><p>　　第2章 斂散性的判別方法- 10 -</p><p>　　2.1 被積函數(shù)是非負(fù)的判別- 10 -</p><p>　　2.1.1 定義判別法- 10 -</p><p>　　2.1.2 柯西準(zhǔn)則- 10 -</p><p>　　2.1.3 比較判

4、別法- 11 -</p><p>　　2.1.4 根值判別法- 12 -</p><p>　　2.2 一般情況下的判別- 14 -</p><p>　　2.2.1 狄利克雷判別法- 14 -</p><p>　　2.2.2 阿貝爾判別法- 15 -</p><p>　　2.2.3 對(duì)數(shù)判別法- 15 -&

5、lt;/p><p>　　第3章 無(wú)窮積分的應(yīng)用- 18 -</p><p>　　3.1 在物理學(xué)中的應(yīng)用- 18 -</p><p>　　3.2 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用- 19 -</p><p><b>　　結(jié)論- 21 -</b></p><p>　　參考文獻(xiàn)- 22 -</p&g

6、t;<p><b>　　致謝- 23 -</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　微積分知識(shí)及其應(yīng)用對(duì)人類的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn), 無(wú)窮積分在其中也發(fā)揮了重要作用. 無(wú)窮積分在生活中常見(jiàn)且應(yīng)用十分廣泛. </p><p>　　本文首先介紹了無(wú)窮積分收斂與發(fā)散的相關(guān)

7、概念，然后對(duì)判斷無(wú)窮積分的斂散性的方法做了詳細(xì)的歸納和總結(jié). 本文主要對(duì)無(wú)窮積分的斂散性判別方法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹. 從中得到不同的被積函數(shù)可以有不同的判別方法，其一，被積函數(shù)是非負(fù)函數(shù)的情況下無(wú)窮積分是否收斂，我們可以應(yīng)用定義判別法、柯西準(zhǔn)則、比較判別法、根值判別法來(lái)判別無(wú)窮積分的斂散性. 其二，在通常的條件下無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e，我們一般考慮使用狄利克雷判別法、阿貝爾判別法、對(duì)數(shù)判別法來(lái)解決. 最后通過(guò)一些實(shí)例研究了無(wú)窮積分在物理學(xué)、

8、經(jīng)濟(jì)學(xué)等實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用. </p><p>　　關(guān)鍵詞：無(wú)窮積分；收斂；發(fā)散；絕對(duì)收斂</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Calculus knowledge and its a

9、pplication have made outstanding contributions to human progress and social development, and infinite integral has also played an important role in it. Infinite integral is common in life and widely used.</p><

10、p>　　This paper first introduces the related concepts of convergence and divergence of infinite integral, and then to determine the infinite integral convergence of the method in detail. This paper focuses on the conve

11、rgence of infinite integral method is introduced in detail. The different integrand can have different discriminant method on the one hand, the integrand is nonnegative function under the condition of infinite integral i

12、s convergent, we can define the application criterion, Cauchy crite</p><p>　　Key words: Infinite Integral; Convergence; Divergence; Absolute Convergence </p><p>　　不要?jiǎng)h除行尾的分節(jié)符，此行不會(huì)被打

13、印</p><p><b>　　緒 論</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)分析和天體物理學(xué)中，無(wú)窮積分起到了舉足輕重的實(shí)際應(yīng)用的作用. 許多實(shí)際問(wèn)題中都蘊(yùn)含著無(wú)窮積分的知識(shí)和應(yīng)用，所以說(shuō)無(wú)窮積分的應(yīng)用非常廣泛. 所以，我們選取無(wú)窮積分的斂散性判別與應(yīng)用作為研究對(duì)象. </p><p>　　無(wú)窮積分是微

14、積分知識(shí)體系中的一個(gè)重要的分支，無(wú)窮積分的斂散性對(duì)科學(xué)發(fā)展以及人類社會(huì)的進(jìn)步具有重大意義和深遠(yuǎn)影響. 在實(shí)際生活中，許多領(lǐng)域的研究都涉及無(wú)窮積分及其斂散性. 例如，在經(jīng)濟(jì)管理學(xué)中，當(dāng)產(chǎn)量趨于無(wú)限增加時(shí)，我們需要去預(yù)測(cè)估計(jì)利潤(rùn)值，以及在供應(yīng)定貨分析解決中都需要無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘南嚓P(guān)知識(shí). 在物理學(xué)中，隨著距離的無(wú)限增加，我們可以根據(jù)無(wú)窮積分計(jì)算出物體離開地球所做的功，以及第二宇宙速度. 由此可見(jiàn)，無(wú)窮積分在實(shí)際的生活中應(yīng)用是相當(dāng)廣泛. 為了

15、讓其更好地應(yīng)用于生活之中，為了讓其對(duì)人類進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展做出更大貢獻(xiàn)，我們要對(duì)無(wú)窮積分及其斂散性的判別進(jìn)行更加深入廣泛的研究. </p><p>　　隨著人們對(duì)無(wú)窮積分重要性認(rèn)識(shí)的逐步加深，越來(lái)越多的人展開對(duì)無(wú)窮積分的斂散性及其應(yīng)用的研究. 在國(guó)內(nèi)，無(wú)窮積分的斂散性及其應(yīng)用的研究成果數(shù)不勝數(shù)，例如劉紅玉在2012年8月發(fā)表的《含參變量無(wú)窮積分一致收斂性的判斷技巧與應(yīng)用》[1]

16、. 她在憑借《數(shù)學(xué)分析》教科書中的知識(shí)，關(guān)于含有參變量的廣義積分的定義及其概念和判別廣義積分?jǐn)可⒌囊恍┓椒ǖ幕A(chǔ)上，通過(guò)對(duì)一些經(jīng)常見(jiàn)到的問(wèn)題的研究、分析與解答,她給我們總結(jié)出了含有參變量的廣義積分的一致收斂性的判斷,這些都是非常具有實(shí)用性的技巧,并且她也討論了含有參變量的廣義積分在學(xué)習(xí)和實(shí)踐中的應(yīng)用價(jià)值. 鄭寶杰和孔波等一些學(xué)者在2009年12月河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)上發(fā)表的《非負(fù)無(wú)窮積分與級(jí)數(shù)之間斂散性的關(guān)系與應(yīng)用》[2]. 這些人的工作是

17、對(duì)數(shù)學(xué)分析中的某一些相關(guān)廣義積分的問(wèn)題進(jìn)行了推廣和廣義積分實(shí)質(zhì)性的應(yīng)用，他們根據(jù)推廣之后的一些命題得到了, 被積函數(shù)為非負(fù)函數(shù)時(shí)的廣義積分與級(jí)數(shù)之間斂散性的相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，并且這些學(xué)者也應(yīng)用舉例解釋說(shuō)明了這種聯(lián)系的應(yīng)用. 在國(guó)外，許多人重視無(wú)窮積分的斂散性應(yīng)用的研究，例如Stump David M 在2005年英國(guó)皇家協(xié)會(huì)期刊上發(fā)</p><p>　　我們可以清楚的看出，無(wú)窮積分的研究已經(jīng)不局限于微積分的應(yīng)用，更

18、多的是為現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的需要提供服務(wù)，這正是無(wú)窮積分的魅力所在. 因此今后會(huì)有更多的人去學(xué)習(xí)和研究無(wú)窮積分的斂散性的判別及其應(yīng)用. 未來(lái)還會(huì)有更多的人一起努力讓無(wú)窮積分綻放出更加璀璨的光芒. </p><p>　　本文主要介紹了無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘南嚓P(guān)定義，概念. 重點(diǎn)介紹了比較判別法判別無(wú)窮積分的斂散性、柯西判別法判別無(wú)窮積

19、分的斂散性、柯西收斂準(zhǔn)則判別無(wú)窮積分的斂散性,還有阿貝爾判別法判別無(wú)窮積分的條件收斂、狄利克雷判別法等方法來(lái)對(duì)無(wú)窮積分的斂散性進(jìn)行判別，我們?cè)敿?xì)地學(xué)習(xí)運(yùn)用所學(xué)知識(shí). 對(duì)于柯西判別法，在原來(lái)的基礎(chǔ)之上我們又進(jìn)行了推廣，我們知道柯西極限判別法可以適用于被積函數(shù)為非負(fù)函數(shù)的無(wú)窮積分，對(duì)其斂散性的判別具有一定的意義，若不然，被積分項(xiàng)就很有可能會(huì)出現(xiàn)是負(fù)數(shù)的情況，對(duì)于被積函數(shù)是變號(hào)函數(shù)的無(wú)窮積分來(lái)說(shuō)，很有可能出現(xiàn)條件收斂的無(wú)窮積分的情況，我們能夠

20、應(yīng)用阿貝爾的判別法還有狄利克雷的判別法，來(lái)判別其是不是條件收斂的. 本文最后重點(diǎn)介紹了無(wú)窮積分的斂散性在物理學(xué)中的應(yīng)用和在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用. </p><p>　　我將采取一些研究方法來(lái)完成本次課題. 首先是資料文獻(xiàn)研究法，收集有關(guān)無(wú)窮積分的斂散性判別方法及其應(yīng)用的相關(guān)文獻(xiàn)并仔細(xì)研究，以求更加全面的掌握無(wú)窮積分. 其次是跨學(xué)科研究法，無(wú)窮積分作為微積分的重要組成部分，不僅對(duì)微積分知

21、識(shí)的補(bǔ)充和發(fā)展起到重大作用，對(duì)其他學(xué)科也有著深遠(yuǎn)影響，能讓我們更加深層次體會(huì)無(wú)窮積分應(yīng)用的廣泛性. 最后是總結(jié)經(jīng)驗(yàn)法，通過(guò)總結(jié)以前人們對(duì)無(wú)窮積分的研究及其經(jīng)驗(yàn)，取其精華，使研究過(guò)程更加嚴(yán)密，更加順利. 以上是本課題的主要研究方法，在研究過(guò)程中還會(huì)運(yùn)用到定量分析法，調(diào)查法，定性分析法等等. 力求多種研究方法相輔相成以準(zhǔn)確深入地研究無(wú)窮積分的斂散性的判別及其應(yīng)用. </p><p>　　第1章 相關(guān)概念知識(shí)<

22、/p><p><b>　　1.1 預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　我們?cè)谘芯繜o(wú)窮積分的斂散性的知識(shí)概念和應(yīng)用的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，首先，我們應(yīng)該了解無(wú)窮積分的收斂與發(fā)散的有關(guān)概念，另外，我們要巧妙運(yùn)用定義定理的知識(shí)，無(wú)窮積分的絕對(duì)收斂、無(wú)窮積分的收斂、無(wú)窮積分的條件收斂、無(wú)窮積分的發(fā)散等概念之間的關(guān)系，可以讓我們更加熟悉應(yīng)用去判別無(wú)窮積分的斂散性.</p>

23、<p>　　下面我們對(duì)無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘挠嘘P(guān)概念進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹. </p><p>　　1.2 無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘母拍?</p><p>　　1.2.1 無(wú)窮積分收斂與發(fā)散</p><p>　　下面我們給出定義下無(wú)窮積分的收斂與發(fā)散.</p><p>　　定義1.1[4] 如果函數(shù)在區(qū)間（或，）上有定義，那么符號(hào)（或 ，）我

24、們把它叫做函數(shù)的無(wú)窮積分. 我們令，，函數(shù)在上是可積的. 如果極限存在（或者不存在），那么我們叫做無(wú)窮積分是收斂的（是發(fā)散的），其極限我們把它叫做無(wú)窮積分（的值），我們也可以把它叫做廣義可積, 即 </p><p>　　我們令,,函數(shù)在上是可積的，如果極限存在（或者不存在），那么我們叫做無(wú)窮積分是收斂的（是發(fā)散的），其極限我們把它叫做無(wú)窮積分（的值），即</p><p><b>

25、　　=</b></p><p>　　如果, 現(xiàn)在有兩個(gè)這樣的無(wú)窮積分與他們都是收斂的（至少有一個(gè)是發(fā)散的），那么我們叫做無(wú)窮積分是收斂的（是發(fā)散的），且</p><p><b>　　=+</b></p><p>　　我們知道根據(jù)積分區(qū)間的可加性的這一個(gè)性質(zhì)，我們?nèi)菀鬃C明上式的右端的實(shí)際值與實(shí)數(shù)c無(wú)關(guān)[5]. 我們可以為了計(jì)算方便，通

26、常取.</p><p>　　例1.1 求下列無(wú)窮積分的值：</p><p><b>　??； ；</b></p><p><b>　　解 ===</b></p><p><b>　　===</b></p><p><b>　　=+=<

27、/b></p><p>　　例1.2 判別無(wú)窮積分（a>0）何時(shí)收斂，何時(shí)發(fā)散.</p><p><b>　　解 在的時(shí)候，有</b></p><p><b>　　==</b></p><p>　　在的時(shí)候，有

28、 </p><p><b>　　==+</b></p><p>　　于是，我們知道，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，無(wú)窮積分是收斂的，所以我們根據(jù)解題過(guò)程得出，無(wú)窮積分（的值）是 ；當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分是發(fā)散的.</p><p>　　我們可以清晰的看出在上面幾道無(wú)窮積分的習(xí)題中，無(wú)論我們需要求出無(wú)窮積分的值還是需要判別無(wú)窮積分的斂散性，我們都應(yīng)該首先求出相關(guān)的

29、被積函數(shù)的原函數(shù)，然后我們?cè)賹?duì)其取極限. 顯然我們知道，用這種方法只有在相關(guān)的被積函數(shù)存在著已知的初等函數(shù)的原函數(shù), 這個(gè)前提條件下才是能夠進(jìn)行的. 假如這個(gè)相關(guān)的被積函數(shù)的原函數(shù)是很難求出的，或者它根本不是我們目前已知的初等函數(shù)，我們上面介紹的方法就不能使用下去了. 因此，我們需要更深層次的去研究我們應(yīng)該怎樣去判別無(wú)窮積分?jǐn)可⑿院驮趺礃忧蠼鉄o(wú)窮積分的值的方法.</p><p>　　1.2.2 無(wú)窮積分與級(jí)數(shù)

30、 </p><p>　　上述三種形式的無(wú)窮積分:</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　它們之間是有聯(lián)系的, 無(wú)窮積分的斂散性可歸結(jié)為兩個(gè)無(wú)窮積分與的斂散性. 對(duì)無(wú)窮積分進(jìn)行換元設(shè)，，有</p><p><b>

31、　　====</b></p><p>　　于是，無(wú)窮積分與都可以總結(jié)歸納為形如的無(wú)窮積分，因此只需我們大家討論關(guān)于無(wú)窮積分的斂散性就可以了. 形如的無(wú)窮積分的斂散性與形如的廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性比較如下： </p><p>　　表1-1 無(wú)窮積分與廣義調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性比較示意表</p><p>　　我們看到，上述無(wú)窮積分與級(jí)數(shù)，對(duì)

32、都收斂，對(duì)都發(fā)散. 我們都知道這不是一種漫無(wú)邊際的巧合，這是因?yàn)闊o(wú)窮積分本身的性質(zhì)與級(jí)數(shù)自身的性質(zhì)之間有著緊密的聯(lián)系.</p><p>　　定理1.1[6] 無(wú)窮積分收斂對(duì)任意數(shù)列，，有 </p><p>　　而 </p><p><b>　　=，</b></p><p

33、>　　級(jí)數(shù)收斂于同一個(gè)數(shù)，然而</p><p><b>　　=</b></p><p>　　1.2.3 無(wú)窮積分的性質(zhì) </p><p>　　性質(zhì)1.1 假如與都是收斂的，為任意兩個(gè)常數(shù)，那么 </p><p><b>　　也是收

34、斂的，然后 </b></p><p>　　性質(zhì)1.2 假如在任意一個(gè)有限區(qū)間上是可積的，，那么與同斂態(tài)，然后有 </p><p>　　其中右邊第一項(xiàng)是定積分．</p><p>　　性質(zhì)1.3 假如在任意一個(gè)有限區(qū)間上是可積的，然后是收斂的，那么一定也是收斂的，并有</p><p>　　當(dāng)收斂的時(shí)候，我們叫做是絕對(duì)收斂的．性質(zhì)1.3

35、告訴我們：我們把叫做絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分，它自身的無(wú)窮積分根據(jù)已知的判別方法我們可以知道它也一定是收斂的．但是這句話的逆命題在通常的條件下是不能夠成立的，所以我們把是收斂的廣義積分但它不是絕對(duì)收斂的廣義積分叫做條件收斂．</p><p>　　1.2.4 絕對(duì)收斂與條件收斂 </p><p>　　定義1.2 假如無(wú)窮積分是收

36、斂的，那么我們就叫無(wú)窮積分是絕對(duì)收斂的.</p><p>　　定義1.3 假如無(wú)窮積分是收斂的，而是發(fā)散的，那么我們就叫無(wú)窮積分是條件收斂的. </p><p>　　第2章 斂散性的判別方法</p><p>　　2.1 被積函數(shù)是非負(fù)的判別 </p><p>　　2.1.1 定

37、義判別法</p><p>　　我們能夠利用無(wú)窮積分定義的相關(guān)知識(shí)，得到如何去判別無(wú)窮積分收斂的一種手段，這是我們證明無(wú)窮積分收斂的一個(gè)思路非常清晰、簡(jiǎn)單并且非常常用的一種方法． </p><p>　　例2.1[7] 我們來(lái)判別廣義積分何時(shí)收斂，何時(shí)發(fā)散．</p><p><b>　　解 因?yàn)樵诘臅r(shí)候，</b></p><

38、;p><b>　　在的時(shí)候，</b></p><p>　　所以我們有在的時(shí)候，上面無(wú)窮積分所求得的極限是，</p><p>　　然而在的時(shí)候，上面無(wú)窮積分的極限．</p><p>　　所以我們有在的時(shí)候，上述無(wú)窮積分是收斂的，它的值是；并且在的時(shí)候，它是發(fā)散的，無(wú)窮積分發(fā)散于．</p><p>　　2.1.2 柯西

39、準(zhǔn)則 </p><p>　　我們根據(jù)定義，無(wú)窮積分收斂或者發(fā)散，最根本是決定于函數(shù)在當(dāng)?shù)臅r(shí)候是否存在極限．然后我們就能夠運(yùn)用函數(shù)極限所學(xué)的的柯西收斂準(zhǔn)則的知識(shí)，相對(duì)照得到了關(guān)于無(wú)窮積分收斂的柯西收斂準(zhǔn)則． </p><p>　　定理2.1[8] 現(xiàn)在我們給出無(wú)窮積分收斂的充分必要的條件是：任

40、意的，假如存在，然后我們只要、我們就有</p><p>　　所以我們知道，一定能夠運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則的這一充分性滿足的條件，來(lái)求證得出無(wú)窮積分是收斂的還是發(fā)散的． </p><p>　　我們?cè)谙旅胬^續(xù)運(yùn)用狄利克雷判別法判別無(wú)窮積分的時(shí)候，也用到了柯西收斂準(zhǔn)則求解和判斷廣義積分是收斂的還是發(fā)散的．</p><p>

41、;　　2.1.3 比較判別法</p><p>　　比較判別法是我們判斷廣義積分是否為絕對(duì)收斂的一種常用的方法．</p><p>　　因?yàn)闊o(wú)窮積分是隨其上限是單調(diào)逐漸增加的，所以我們有是收斂的充分并且必要的條件是有一個(gè)上界它是屬于實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的．我們能夠在這樣的條件下，得到下面的比較判別法：</p><p>　　定理2.2[9] （比較法則）假如我們現(xiàn)在讓定義在上的兩個(gè)

42、函數(shù)和都在實(shí)數(shù)上的任意有限區(qū)間上可積，并且這兩個(gè)函數(shù)都符合：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　那么在 是收斂的時(shí)候，是收斂的（或者，在發(fā)散的時(shí)候，一定也是發(fā)散的）．</p><p>　　例2.2 判別在什么時(shí)候收斂，在什么時(shí)候發(fā)散. </p><p>　　解 由于，，并且無(wú)窮積分等于

43、是收斂的，我們能夠根據(jù)比較法則得出，廣義積分是絕對(duì)收斂的．</p><p>　　我們現(xiàn)在也能夠推理得到比較法則的極限形式：</p><p>　　定理2.3 假如函數(shù)和在每一個(gè)有限區(qū)間上都是可積的，，還有，然后有：</p><p>　　在的時(shí)候，和收斂發(fā)散是相同的； </p><p>　　在的時(shí)候，因?yàn)槭諗磕軌蛑酪彩諗浚?lt;/p>

44、<p>　　在的時(shí)候,因?yàn)榘l(fā)散能夠知道也發(fā)散</p><p>　　在我們做題選用作為對(duì)比元素的時(shí)候，比較判別法（比較原則）及其下面的極限形式就是柯西判別法：</p><p>　　我們令定義在，在實(shí)數(shù)上任何有限的區(qū)間上是可積的，那么</p><p><b>　　那么有：</b></p><p>　　在的時(shí)候，無(wú)

45、窮積分是收斂的；</p><p>　　在的時(shí)候，無(wú)窮積分是發(fā)散的．</p><p>　　例2.3 判別無(wú)窮積分在什么時(shí)候收斂，在什么時(shí)候發(fā)散</p><p>　　解 在的時(shí)候，我們選，，然后</p><p>　　因?yàn)榭挛髋袆e法所以我們知道是收斂的．</p><p><b>　　在的時(shí)候，然后</b>

46、;</p><p>　　因?yàn)榭挛髋袆e法我們知道是發(fā)散的．</p><p>　　2.1.4 根值判別法 </p><p>　　定理2.4[10] 我們令是上的正函數(shù)，假如那么在的時(shí)候，無(wú)窮積分是收斂的；在的時(shí)候，無(wú)窮積分是發(fā)散的．</p><p><

47、;b>　　證明 我們讓</b></p><p><b>　　存在，任意的，</b></p><p><b>　　那么</b></p><p>　　是收斂的．所以無(wú)窮積分是收斂的．</p><p>　　因?yàn)椋覀兞?，存在，任意，那?lt;/p><p><b

48、>　　然后</b></p><p>　　是發(fā)散的，所以無(wú)窮積分是發(fā)散的．</p><p>　　例2.4 判別無(wú)窮積分的斂散性.</p><p><b>　　解 我們令</b></p><p><b>　　那么</b></p><p><b>　　所

49、以</b></p><p>　　所以在的時(shí)候，無(wú)窮積分是收斂的；在的時(shí)候，無(wú)窮積分是發(fā)散的．</p><p>　　注記 我們可以把形式像的無(wú)窮積分總結(jié)它們常用的判別法是用進(jìn)行判別，然而這道題目求它的極限</p><p>　　是很不容易求得的！ </p&g

50、t;<p>　　2.2 一般情況下的判別</p><p>　　2.2.1 狄利克雷判別法</p><p>　　定理2.5[11] （狄利克雷判別法）假使函數(shù)在上是有界的，函數(shù)在上, 且當(dāng)?shù)臅r(shí)候單調(diào)并且其極限趨于零，那么是收斂的．</p><p>　　證明 因?yàn)橐阎? 現(xiàn)在我們令任意的，因?yàn)?，所以存在，在的時(shí)候，那么</p><p&

51、gt;　　然后由于函數(shù)是單調(diào)的函數(shù)，我們能夠運(yùn)用積分第二積分中值定理，使每一個(gè)，存在，可以讓</p><p><b>　　所以得到</b></p><p>　　由于柯西準(zhǔn)則，我們證明出了無(wú)窮積分是收斂的．</p><p>　　2.2.2 阿貝爾判別法 </p>

52、<p>　　定理2.6 （阿貝爾判別法）假如收斂，在上單調(diào)并且是有界的，那么是收斂的．</p><p>　　例2.5[12] 判別無(wú)窮積分在什么時(shí)候是收斂的，在什么時(shí)候是發(fā)散的．</p><p><b>　　解 在的時(shí)候，由于</b></p><p><b>　　，</b></p><p&

53、gt;　　但是無(wú)窮積分在的時(shí)候是收斂的，所以由比較判別法知道是收斂的而且是絕對(duì)收斂的．</p><p>　　在的時(shí)候，對(duì)于任意的，那么</p><p>　　但是在的時(shí)候單調(diào)并且其極限趨于零（），然后由狄利克雷判別法我們知道在的時(shí)候它總是收斂的．</p><p>　　然而從其他的角度，因?yàn)?lt;/p><p><b>　　，</b&

54、gt;</p><p>　　但是無(wú)窮積分符合狄利克雷判別法的判別條件，所以它是收斂的，但是無(wú)窮積分是發(fā)散的，那么在的時(shí)候所求無(wú)窮積分不是絕對(duì)收斂的．那么我們就叫做這個(gè)無(wú)窮積分是條件收斂的．</p><p>　　在的時(shí)候，根據(jù)定義我們知道該無(wú)窮積分發(fā)散．</p><p>　　所以由于上面的論述我們知道，在的時(shí)候是絕對(duì)收斂的，的時(shí)候是條件收斂，在的時(shí)候是發(fā)散的．<

55、/p><p>　　2.2.3 對(duì)數(shù)判別法 </p><p>　　定理2.7[13] 假設(shè)函數(shù)在上是連續(xù)的，對(duì)任意的都可以使，然后，所以</p><p>　　假如在的時(shí)候，那么無(wú)窮積分是收斂的；</p><p>　　假如在的時(shí)候，那么無(wú)窮積分是發(fā)散的；</p&

56、gt;<p>　　假如在的時(shí)候，那么無(wú)窮積分是收斂的也可能是發(fā)散的，所以他的斂散性是無(wú)法判定的．</p><p><b>　　證明 由于</b></p><p>　　所以任意的，存在，在的時(shí)候，</p><p><b>　　那么</b></p><p><b>　　所以<

57、;/b></p><p>　　我們能夠運(yùn)用比較判別法判別.</p><p>　　在的時(shí)候，我們令，那么，因?yàn)?，所以是收斂的?lt;/p><p>　　在的時(shí)候，我們令，那么，因?yàn)?，所以是發(fā)散的；</p><p>　　在的時(shí)候，我們觀測(cè)無(wú)窮積分</p><p>　　我們?nèi)菀椎玫皆诘臅r(shí)候是收斂的，在的時(shí)候是發(fā)散的，然而對(duì)

58、任意的我們可以使</p><p><b>　　我們能夠看到</b></p><p>　　所以 </p><p>　　那么在的時(shí)候，無(wú)窮積分可能是收斂的，也可能是發(fā)散的．</p><p>　　同理我們能夠證出：在的時(shí)

59、候，那么</p><p>　　無(wú)窮積分一定是收斂的．</p><p>　　這個(gè)定理給我們指導(dǎo)了一個(gè)新的判別方法，我們能夠判別無(wú)窮積分是收斂的還是發(fā)散的．我們本就能夠運(yùn)用洛必達(dá)法則來(lái)推出并得到以下的推論．</p><p>　　推論2.1[14] 假如函數(shù)在上是連續(xù)的，使任意的都能夠讓，還有，所以在為定理內(nèi)容中符合條件下的時(shí)候，我們能夠很容易的判別有同樣的論斷是正確的．

60、</p><p>　　證明 根據(jù)洛必達(dá)法則和題意給出能夠知道</p><p>　　所以推論的論斷是十分正確的．</p><p>　　例2.6 判別無(wú)窮積分的斂散性．</p><p>　　解 已知函數(shù)在上是連續(xù)的，使任意的滿足，所以</p><p>　　然后，根據(jù)定理能夠得到，無(wú)窮積分是收斂的.</p>&

61、lt;p>　　第3章 無(wú)窮積分的應(yīng)用</p><p>　　3.1 在物理學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　例3.1 發(fā)射火箭需要計(jì)算克服地球引力所做的功，設(shè)火箭的質(zhì)量是，問(wèn)將火箭垂直地向上發(fā)射到天空在距離地表面高度的時(shí)候，需要做多少功？并由此計(jì)算當(dāng)火箭初速度不小于多少的時(shí)候，才能夠讓火箭脫離地球所控制的引力范圍？</p><p>　　解 取軸豎直向上，地球的

62、半徑設(shè)為，質(zhì)量為，由萬(wàn)有引力定律，火箭所受地球的引力為 </p><p>　　隨著火箭發(fā)射的高度而變化，當(dāng)火箭在地面上，即時(shí)，火箭所受的引力就是火箭的重力 </p><p>　　代入上式，, 為了發(fā)射火箭必須克服地球引力，克服地球引力的與大小相等，下面用微元法來(lái)求變力做功,</p><p><b>　　取為積分變量, <

63、;/b></p><p>　　為了使火箭脫離地球引力范圍，也就是說(shuō)要把火箭發(fā)射到無(wú)窮遠(yuǎn)處，即所需做的功</p><p>　　這些功是根據(jù)火箭燃料燃燒而釋放的動(dòng)能轉(zhuǎn)化而來(lái)，假如火箭從地面離開時(shí)的初速度為，則動(dòng)能為，所以為了讓火箭脫離地球的引力范圍，就要有</p><p><b>　　代入上式得 </b></p><p&

64、gt;　　我們可以根據(jù)這道實(shí)際的物理題，計(jì)算垂直發(fā)射質(zhì)量為的宇宙飛船脫離地球的引力所做的功，需要計(jì)算一個(gè)定積分的上限無(wú)限增大的極限，也就是說(shuō)計(jì)算無(wú)窮積分的值，這就是無(wú)窮積分在物理學(xué)中一個(gè)最真實(shí)最普遍的一個(gè)應(yīng)用.</p><p>　　例3.2 現(xiàn)在我們把一個(gè)帶有電量的點(diǎn)電荷放在軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處的位置上，我們知道它會(huì)產(chǎn)生一個(gè)自己的電場(chǎng)，這個(gè)新的電場(chǎng)對(duì)在它周圍的電荷會(huì)產(chǎn)生作用力，我們還可以由物理學(xué)知道，假如將一個(gè)單位正電

65、荷放在新產(chǎn)生的電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為的位置的時(shí)候，那么我們知道這個(gè)新的電場(chǎng)對(duì)它產(chǎn)生的作用力大小為（這里是常數(shù)），現(xiàn)在我們把這個(gè)單位正的點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中從的位置上沿軸移動(dòng)到的位置上的時(shí)候，請(qǐng)?jiān)囉?jì)算電場(chǎng)力對(duì)它所作的功為多少，到無(wú)窮遠(yuǎn)的位置呢？</p><p>　　解 取為積分變量，，取任一小區(qū)間，功微元，所求功為 </p><p>　　如果我們要考慮把單位電荷從原點(diǎn)的位置

66、上移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處那么此時(shí)電場(chǎng)力對(duì)它所做的功是 </p><p>　　3.2 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　例3.3[15] 已知一家企業(yè)由現(xiàn)在到未來(lái)的某時(shí)刻,每年以美元連續(xù)資金流量的累積現(xiàn)值為</p><p>　　其中是現(xiàn)行的利率假設(shè)資金流量的情況是連續(xù)不斷的在這個(gè)假設(shè)成立的前提下, 求在未來(lái)的無(wú)限時(shí)間周期上的累積現(xiàn)值是多少

67、？</p><p><b>　　解</b></p><p>　　例3.4 現(xiàn)在呼和浩特一家牛奶公司有一個(gè)的投資工程, 他們的投資成本的資金是(萬(wàn)元) , 投資的每年的年利率是, 每年年底的均勻收入率是(萬(wàn)元), 現(xiàn)在求該投資項(xiàng)目為無(wú)限期時(shí)的純收入的貼現(xiàn)值(或我們把它叫做投資的資本價(jià)值) </p><p>　　解 由題設(shè)的已知條件我們能夠看出，收

68、入率是 (萬(wàn)元) , 年利率是, 所以無(wú)限期的投資的總收入的貼現(xiàn)為：</p><p>　　所以當(dāng)我們的投資是沒(méi)有期限的時(shí)候的純收入貼現(xiàn)值是</p><p>　　那么該項(xiàng)目為無(wú)限期時(shí)的純收入的貼現(xiàn)值是（萬(wàn)元）.</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　本文主要研究了無(wú)窮積分的斂散性的一些判別方法及

69、其實(shí)際運(yùn)用.</p><p>　　第一部分的內(nèi)容是重點(diǎn)介紹了無(wú)窮積分?jǐn)可⑿韵嚓P(guān)的定義、概念、等知識(shí)，然后給出了收斂的無(wú)窮積分、發(fā)散的無(wú)窮積分、絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分、條件收斂的無(wú)窮積分等概念知識(shí). 敘述了在通常的情況下, 判別無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘倪\(yùn)用中比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用，為后文的主要內(nèi)容起到了引領(lǐng)下文的作用.</p><p>　　第二部分的內(nèi)容是重點(diǎn)介紹了無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法. 同時(shí)，還研究了無(wú)窮

70、積分的一些常用性質(zhì)并給予了證明. 本文總結(jié)了比較判別法判別無(wú)窮積分的斂散性，柯西判別法判別無(wú)窮積分的斂散性、柯西收斂準(zhǔn)則判別無(wú)窮積分的斂散性,還有阿貝爾判別法判別無(wú)窮積分的條件收斂、狄利克雷判別法等方法來(lái)對(duì)無(wú)窮積分的斂散性進(jìn)行判別，我們?cè)敿?xì)地學(xué)習(xí)運(yùn)用所學(xué)知識(shí). 對(duì)于柯西判別法，在原來(lái)的基礎(chǔ)之上我們又進(jìn)行了推廣，我們知道柯西極限判別法可以適用于被積函數(shù)為非負(fù)函數(shù)的無(wú)窮積分，對(duì)其斂散性的判別具有一定的意義，若不然，被積分項(xiàng)就很有可能會(huì)出現(xiàn)是

71、負(fù)數(shù)的情況，對(duì)于被積函數(shù)是變號(hào)函數(shù)的無(wú)窮積分來(lái)說(shuō)，很有可能出現(xiàn)條件收斂的無(wú)窮積分的情況，我們能夠應(yīng)用阿貝爾的判別法還有狄利克雷的判別法，來(lái)判別其是不是條件收斂的. 然而，假如對(duì)變號(hào)的被積函數(shù)或者不定號(hào)的被積函數(shù)所形式的無(wú)窮積分來(lái)說(shuō)，我們單單能判別出它不是絕對(duì)收斂，當(dāng)我們實(shí)際運(yùn)用的時(shí)候，我們需要對(duì)被積函數(shù)加上絕對(duì)值，這是我們需要重點(diǎn)注意的地方. </p><p>　　第三部分重點(diǎn)歸納了無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘膽?yīng)用，主要是

72、無(wú)窮積分?jǐn)可⑿栽谖锢韺W(xué)中的應(yīng)用，無(wú)窮積分的斂散性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，無(wú)窮積分對(duì)社會(huì)的進(jìn)步和數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻(xiàn). 無(wú)窮積分也發(fā)揮了重要作用.許多實(shí)際問(wèn)題中都蘊(yùn)含著無(wú)窮積分的知識(shí)和應(yīng)用，所以說(shuō)無(wú)窮積分的應(yīng)用非常廣泛. </p><p>　　縱觀近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們可以看出越來(lái)越多的人研究無(wú)窮積分. 無(wú)窮積分對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題起到了非常大的作用，所以無(wú)窮積分的斂散性的未來(lái)是無(wú)限光明的，會(huì)更好的被應(yīng)用于生活之中.<

73、;/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 帕爾哈提·阿里甫,阿布力米提·阿布都熱依木.利用Γ函數(shù)計(jì)算含參變量無(wú)窮積 分的一種方法[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,(01):131-132. </p><p>　　[2] 玉璋.正函數(shù)無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘囊环N判別法[J].重慶科技學(xué)

74、院學(xué)報(bào),2008,(02):142-144. </p><p>　　[3] Robust.H-infinity integral sliding mode control for a class of uncertain switched nonlinearsystems[J].Journal of Control Theory and Applications,2010,(04):521-526.<

75、;/p><p>　　[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M]北京：高等教育出版社，2003：196.</p><p>　　[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003：185.</p><p>　　[6] 李娟.反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性關(guān)系探析[J].安康學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(06):26-27.</p><

76、;p>　　[7] 張姮妤.關(guān)于一類無(wú)窮積分的收斂判別問(wèn)題的研究[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,(03):73-75.</p><p>　　[8] 蔡瑾.無(wú)窮積分的幾個(gè)定理[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2015,(05):1-3.</p><p>　　[9] 余建熙.兩種反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法研究[J].科技展望,2017,(03):236-237.</p>

77、;<p>　　[10] E.M.Safro. Integral-inequality approach to delay-dependent robust H-infinity control for uncertain neutral systems[J].Journal of Control Theory and Applications,2008,(02):208-214.</p><p>　

78、　[11] 邢家省,楊小遠(yuǎn),白璐.兩無(wú)窮區(qū)間上積分交換次序充分條件的改進(jìn)及其應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,(01):87-92.</p><p>　　[12] 馮依虎.一類無(wú)窮積分的收斂性和求值的討論[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào),2013,(06):39-40.</p><p>　　[13] 陳亞麗.廣義積分?jǐn)可⑿缘膶?duì)數(shù)判別法[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)報(bào),2004,(21

79、):231-232.</p><p>　　[14] 張姮妤,欒孟杰,劉一.一類無(wú)窮積分的計(jì)算公式[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,(01):22-24.</p><p>　　[15] Bai-Shun,Liu,Xiang-Qian,Luo.General Convex Integral Control[J]. International Journal of Automat