高考中用加減乘除法求數(shù)列通項公式

1、<p>　　高考中用加減乘除法求數(shù)列通項公式</p><p>　　對于任何一種數(shù)列，只要能求出它的通項公式，什么都好解決，掌握了通項公式的求法，就學好數(shù)列的一半內(nèi)容，因此，高考題常要求出數(shù)列的通項公式。本文給同學們介紹幾種最常用的求法。 </p><p>　　1 加法求通項公式 </p><p>　　例1、（北京，文16改編）數(shù)列{an}中，a1=2，an

2、+1=an+nC（C是常數(shù)，n=1，2，3，…）且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列。 </p><p>　　求{an}的通項公式。 </p><p>　　解：∵a1=2，an+1=an+nC </p><p>　　∴a2=2+C，a3=2+C+2C=2+3C </p><p>　　又∵a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列，∴C≠0 &

3、lt;/p><p>　　由（2+C）2=2（2+3C） </p><p><b>　　∴C=2 </b></p><p>　　∴a1=2，a2=4，a3=8，an+1=an+2n </p><p>　　∴an=an-1+2（n-1），即an-an-1=2（n-1）（n2） </p><p>　　∴an

4、=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1 </p><p>　　=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2 </p><p>　　=2×（1+n-1）（n-1）2+2 </p><p>　　=n2-n+2（n2） </p><p>　　當n=1時a1=2上式也適合。 </p>

5、<p>　　∴an=n2-n+2（n∈N*）。 </p><p>　　講評：常用累加法求形如a1=a，an+1=an+f（n）數(shù)列通項公式。 </p><p>　　練習1：（江西卷5）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+1n），則 an=A </p><p>　　A. 2+ln n B. 2+（n-1）ln n </p>&

6、lt;p>　　C. 2+n ln nD. 1+n+ln n </p><p>　　練習2：（四川卷）2008設數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，則通項an= </p><p>　　n（n+1）2+1 </p><p><b>　　。 </b></p><p>　　【解】∵a1=2，an+1=an+n

7、+1 ∴an=an-1+（n-1）+1，an-1=an-2+（n-2）+1，an-2=an-3+（n-3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1 </p><p>　　將以上各式相加得： </p><p>　　an=[（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1]+n+1 </p><p>　　=（n-1）[（n-1）+1]2+n+1=

8、（n-1）n2+n+1 </p><p>　　=n（n+1）2+1 </p><p>　　故應填n（n+1）2+1； </p><p>　　【考點】：此題重點考察由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式； </p><p>　　【突破】：重視遞推公式的特征與解法的選擇；抓住an+1=an+n+1中an+1，an系數(shù)相同是找到方法的突破口；此題可用累和

9、法，迭代法等； </p><p>　　2 減法求通項公式 </p><p>　　例2、（山東，17改編）設數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1?an=n3，（n∈N*）求數(shù)列{an}的通項； </p><p>　　解：（Ⅰ）∵a1+3a2+32a3+…+3n-1?an=n3，① </p><p>　　a1+3a2+32a3+…

10、+3n-2?an-1=n-13（n2），② </p><p>　?、侉D②得：3n-1?an=13an=13n </p><p>　　當n=1時，a1=13也適合上式. </p><p>　　∴an=13n（n∈N*） </p><p>　　講評：對應相減和錯位相減都是求數(shù)列的an，sn的常用方法。 </p><p>　

11、　練習1：（重慶改編）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S1>1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N。 </p><p>　　求{an}的通項公式； </p><p>　　解：由a1=S1=16（a1+1）（a1+2），解得a1=1或a1=2，由假設a1=S1>1，因此a1=2， </p><p>　　又由an+1=Sn+1-Sn=

12、16（an+1+1）（an+1+2）-16（an+1）（an+2）， （Ⅰ） </p><p>　　得（an+1+an）（an+1-an-3）=0， </p><p>　　即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去 </p><p>　　因此an+1-an=3，從而{an}是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故{an}的

13、通項為an=3n-1 </p><p>　　講評：形如（Ⅰ）式或可化為（Ⅰ）的復雜遞推關系式，常用因式分解法求解。 </p><p><b>　　練習2： </b></p><p>　　200516. （山東卷） </p><p>　　已知數(shù)列{an}的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）

14、</p><p>　?。↖）證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列； </p><p>　　解：由已知Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）可得n2，Sn=2Sn-1+n+4兩式相減得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1即an+1=2an+1從而an+1+1=2（an+1）當n=1時S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11從而a2+1=2（a1+1） </p&g

15、t;<p>　　故總有an+1+1=2（an+1），n∈N*又a1=5，a1+1≠0從而an+1+1an+1=2即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列； </p><p>　　3 乘法求通項公式 </p><p>　　例3、設{an}是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0（n∈N*），求它的通項公式。 </p><p>　　解析

16、：分解因式可得[（n+1）an+1-nan]?[an+1+an]=0，又an>0，則（n+1）an+1-nan=0，即an+1an=nn+1.又a1=1，由累積法可得an=anan-1 an-1an-2 an-2an-3 a2a1a1=1n. </p><p>　　練習.2004已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），則{an}的通項 　　an=1n=

17、1 </p><p><b>　　n！/2 </b></p><p><b>　　n2 </b></p><p>　　講評：形如an+1an=nn+1或可化為此形式的數(shù)列題常用累積法。 </p><p>　　4 除法求通項公式 </p><p>　　例4、2008全1（本小題

18、滿分12分）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n. </p><p>　?。á瘢┰Obn=an2n-1.證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； </p><p>　?。á颍┣髷?shù)列{an}的前n項和Sn. </p><p>　　解析：（1）∵在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，bn=an2n-1，∴bn+1-bn=an+12n-an2n-1=an+

19、1-2an2n=1，所以數(shù)列數(shù)列{bn}是等差數(shù)列是等差數(shù)列，且bn=n。 </p><p>　?。?）由（1）知，bn=n，又bn=an2n-1，所以an=n?2n-1，則Sn=1×1+2×2+…+n×2n-1，2Sn=1×2+2×22+…+n×2n，兩式相減得Sn=n×2n-1×20-1×2-…-2n-1=（n-1）&#

20、215;2n+1。 </p><p>　　練習1：（江西卷改編）已知數(shù)列{an}滿足：a1=32，且an=3nan-12an-1+n-1（n2，n∈N*） </p><p>　　求數(shù)列{an}的通項公式； </p><p>　　解：將條件變?yōu)椋?-nan=13（1-n-1an-1），因此{1-nan}為一個等比數(shù)列，其首項為1-1a1=13，公比13，從而1-nan

21、=13n，據(jù)此得an=n?3n3n-1（n1） </p><p>　　講評：恒等變形是求通項公式的最常用的技巧。 </p><p>　　練習2：2008（陜西卷22）.（本小題滿分14分） </p><p>　　已知數(shù)列{an}的首項a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，…. </p><p>　?。á瘢┣髙an}的通項公式；

22、</p><p>　　解法一：（Ⅰ）∵an+1=3an2an+1，∴1an+1=23+13an，∴1an+1-1=13（1an-1）， </p><p>　　又1an-1=23，∴（1an-1）是以23為首項，13為公比的等比數(shù)列. </p><p>　　∴1an-1=23 13n-1=23n，∴an=3n3n+2. </p><p>　?。?/p>

23、14分）已知數(shù)列{an}中，a1=13，當n2時，其前n項和Sn滿足an=2S2n2Sn-1， </p><p>　　（1）求Sn的表達式及 limn→∞anS2n的值； </p><p>　　（2）求數(shù)列{an}的通項公式； </p><p>　?。?）an=Sn-Sn-1=2S2n2Sn-1Sn-1-Sn=2SnSn-11Sn-1Sn-1=2（n2） </

24、p><p>　　所以{1Sn}是等差數(shù)列。則Sn=12n+1。 </p><p>　　limn→∞anS2n=limn→∞22Sn-1=22limn→∞Sn-1=-2。 </p><p>　?。?）當n2時，an=Sn-Sn-1=12n+1-12n-1=-24n2-1， </p><p>　　綜上，an=13（n=1） </p>&