求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法

1、總述：求數(shù)列通項(xiàng)的方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）總述：求數(shù)列通項(xiàng)的方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、一、累加法一、累加法適用于：適用于：1()nnaafn???轉(zhuǎn)換成，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).1()nnaafn???na①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和②若f(

2、n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。na11211nnaana?????，na解：由得則121nnaan????121nnaan????112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnn

3、aaaaaaaaaannnnnnnnnnn??????????????????????????????????????????????????例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。na112313nnnaaa??????，na解；由得則1231nnnaa?????1231nnnaa?????11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331

4、nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn?????????????????????????????????????????????????????????練習(xí)練習(xí)1.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.??na12()nnaannN??????na答案：12??nn練習(xí)練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.na31?a)2()1(11?????nnnaann答案：裂項(xiàng)求和nan12??四、待定系數(shù)法四、待定系數(shù)法

5、適用于適用于1()nnaqafn???基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。1形如其中)型0(1????cdcaannaa?1（1）若c=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列na（2）若d=0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列na（3）若時(shí)，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.01??且dcna待定系數(shù)法：設(shè))(1??????nnaca得與題設(shè)比較系數(shù)得?)1(1????ccaann1dcaa

6、nn???所以所以有：dc???)1()0(1???ccd?)1(11??????cdaccdann因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，????????1cdan11??cda所以即：.11)1(1???????nnccdacda1)1(11???????cdccdaann規(guī)律：將遞推關(guān)系化為構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從dcaann???1)1(11??????cdaccdann1??cdan而求得通項(xiàng)公式)1(1111?????

7、??cdaccdann逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n1有兩式相減有dcaann???1dcaann???1從而化為公比為c的等比數(shù)列進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.再利)(11?????nnnnaacaa1nnaa??)(121aacaannn????用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。na11121(2)nnaaan???????na解法一：121(2)nnaan?????