一類一階非齊次線性微分方程的解法

1、幾類一階微分方程的簡捷求法摘要:關鍵詞:中圖分類號:文獻標識碼:A1預備知識預備知識形如(1)()()dyPxyQxdx??的方程稱為一階線性方程.這里、在所考慮的區(qū)間上是連續(xù)的.當時方()Px()Qx()0Qx?程(1)變?yōu)?2)()0dyPxydx??方程(1)()稱為一階非齊次線性方程而方程(2)稱為與(1)相對應的一階齊次線性方()0Qx?程.方程(1)可用常數(shù)變易法求解方程(2)可用分離變量法求解.形如(3)()()ndyPx

2、yQxydx??(01)n?的方程稱為伯努利方程.它可通過變量代換、常數(shù)變易、變量回代等求解過程轉化為一階線性微分方程來求解.現(xiàn)提出幾類一階微分方程并用簡潔方法進行求解.2主要結果主要結果定理定理1若一階非齊次線性微分方程具有如下形式(4)()()()nndyFxFxyQxdx??????則它的通解為(5)1()()nyQxdxCFx???????證明證明將方程(4)化為()()()nndFxdyFxyQxdxdx??????()()(

3、)nnFxdydFxyQxdx??????()()ndFxyQxdx?????A兩邊積分得()()nFxyQxdxC???A證畢.1()()nyQxdxCFx???????推論推論1若一階非齊次線性微分方程具有如下形式11()()ln()ln()nndyPxQxyFydxFy???令則1ln()nzFy??定理定理3若一階微分方程具有如下形式(12)()()()ndyFxFxyQxydx??(01)n?則它的通解為(5)1()()nyQ

4、xdxCFx???????證明證明將方程(12)化為()()()ndydFxFxyQxydxdx????()()ndFxyyQxdx?A方程兩端除以得到ny1()()()nndydFxyFxyQxdxdx????11()()()1nnnndFxFxdyyQxndxdx?????????令則代入上式得到關于變量的一階線性方程1nzy??(1)ndydznydxdx???z()()()1nndFxFxdzzQxndxdx???????()(