851 一階方程組和高階方程 考慮一階常微分方程組的初值問(wèn)

1、8.5.1 一階方程組和高階方程 考慮一階常微分方程組的初值問(wèn)題：,8.5 一階方程組的數(shù)值解法,可見(jiàn)，式（8.5.2）在形式上與一個(gè)方程的初值問(wèn)題一樣。關(guān)于一個(gè)方程的初值為體的數(shù)值方法均適用于方程組。相應(yīng)的理論問(wèn)題也可類似地討論。下面僅寫出兩種數(shù)值方法作說(shuō)明。,其中,因此，可用求解方程組形式的方法來(lái)求解（8.5.4）。,這兩個(gè)問(wèn)題有同樣的解,8.5.2 剛性方程組,采用四階經(jīng)典R-K方法來(lái)計(jì)算上面的兩個(gè)問(wèn)題，

2、以相同的誤差要求來(lái)自動(dòng)選取步長(zhǎng)，計(jì)算從 x=0 到 x=10 。第一個(gè)問(wèn)題可用相當(dāng)大的步長(zhǎng)，而第二個(gè)問(wèn)題能使用的步長(zhǎng)小到難以接受。如果改用某種低階隱式公式，那么這兩個(gè)問(wèn)題均可用較大的步長(zhǎng)，計(jì)算出大致符合要求的解來(lái)。上述顯示出來(lái)的現(xiàn)象稱剛性。問(wèn)題2是剛性的，問(wèn)題1是非剛性的。由于這兩個(gè)問(wèn)題的解是相同的，因此這種現(xiàn)象不是問(wèn)題的解的作用，而是方程組的一種特性所引起的?；谶@個(gè)事實(shí)，較為正確的應(yīng)稱之為剛性方程組而不是剛性問(wèn)題。

3、 考慮方程組的通解。對(duì)于問(wèn)題1，方程組的系數(shù)矩陣特征值為 和 ，其通解為,其中 為任意常數(shù),其中 為任意常數(shù)。對(duì)于問(wèn)題2，方程組的系數(shù)矩陣的特征值為 和 ，其通解為,數(shù)值計(jì)算中出現(xiàn)的現(xiàn)象可以用穩(wěn)定性來(lái)解釋。兩個(gè)問(wèn)題的特征值都是實(shí)的，因此可只考慮穩(wěn)定區(qū)間。經(jīng)典 R-K 方

4、法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間近似為（-2.785，0）。對(duì)于問(wèn)題1，如果 或 時(shí)，可以是穩(wěn)定的。對(duì)于問(wèn)題2，要求 或 ，才能保證穩(wěn)定。由上可以看出，一定精度范圍內(nèi)，h 完全由絕對(duì)穩(wěn)定性決定。,由通解（8.5.6）可見(jiàn)，當(dāng)

5、 時(shí)，（8.5.6）右邊的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都趨于零，這兩項(xiàng)瞬態(tài)解。趨于零的快慢取決于特征值的大小。顯然，第二項(xiàng)很快趨于零，此項(xiàng)稱為快瞬態(tài)解，而第一項(xiàng)稱為慢瞬態(tài)解。（8.5.6）右邊的第三項(xiàng)稱為穩(wěn)態(tài)解。實(shí)際計(jì)算表明 ，當(dāng)?shù)诙?xiàng)很快趨于零以后 ，要使整個(gè)方程組的解趨于穩(wěn)態(tài)解，必須由第一項(xiàng)來(lái)決定計(jì)算終止與否。因此計(jì)算中，要在一個(gè)很長(zhǎng)的區(qū)間上處處用小步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算，這就是剛性現(xiàn)象。 由（8.5.5）和（8.5.6）可見(jiàn)，計(jì)算

6、的步數(shù)與量 有關(guān)。 一般地，考慮非齊次常系數(shù)方程組,其中 為任意常數(shù)， 為（8.5.7）的特解。 假定特征值 的實(shí)部為負(fù)，即,現(xiàn)設(shè) A 的特征值按其實(shí)部的絕對(duì)值大小排列：,當(dāng)我們計(jì)算穩(wěn)態(tài)解時(shí)，必須求到 可以忽略為止，所以 越小，計(jì)算的區(qū)間越長(zhǎng)。另一方面，為

7、使 均在絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域內(nèi)，顯然， 的值大時(shí)，必須采用很小的步長(zhǎng) h 。因此，引入微分方程組（8.5.7）的剛性比,（8.5.8）,那么，我們似乎可以用剛性比來(lái)描述剛性方程組， 即方程組（8.5.7）中 A 的全部特征值有負(fù)的實(shí)部并剛性比 S 是大的，那么（8.5.7）是剛性的。 上述描述性定義有時(shí)也會(huì)發(fā)生一些不妥，比如，

8、該定義為能包含實(shí)際問(wèn)題中常常出現(xiàn)的特征值實(shí)部為小的正數(shù)或等于零的情況。因此，我們引入下面的定義。,定義8.6 當(dāng)具有有限的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的數(shù)值方法應(yīng)用到一個(gè)任意初始條件的方程組時(shí)，如果在求解區(qū)間上必須用非常小的步長(zhǎng)，則稱此方程組在該區(qū)間上是剛性的。 剛性方程組有其自身的特點(diǎn)，一般顯式方法難于應(yīng)用。梯形方法、隱 式Euler法對(duì) h不 限制，可適用于一定類型的剛性方程組的求解。這里，我們不詳細(xì)討論剛性方程的求解。