{范例18}角動量空間量子化模型

1、{范例14.8} 角動量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據氫原子薛定諤方程的結論，說明角動量空間量子化模型，求出角動量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,[解析]氫原子是由質子和電子組成的系統，質子形成帶正電的原子核，其質量是電子質量的1836倍，因此在電子繞核運動時可認為原子核是靜止的。,,,,,電子和原子核之間的電勢能為,,,其中，e為電子電量，r為電子到核的距離。,由于V(r)不隨時間改變

2、，所以是一個定態(tài)問題。,,,,,,,電子繞核運動的薛定諤方程為,,,,,,勢能是球對稱的。,直角坐標和球坐標變換如下,x = rsinθcosφ，y = rsinθsinφ，z = rcosθ。,{范例14.8} 角動量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據氫原子薛定諤方程的結論，說明角動量空間量子化模型，求出角動量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,電子在球坐標系中的薛定諤方程為,,,,,ψ=ψ(

3、r,θ,φ)是球坐標系中的波函數。,,,設ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)，,R(r)，Θ(θ)和Φ(φ)分別是r，θ和φ的函數。,,,,,,,經過嚴密數學運算，可得三個函數所滿足的三個常微分方程,,,,,,其中ml和λ是常數。,,,,,,解這些微分方程并利用波函數標準條件(單值，連續(xù)和有限)和歸一化條件，可得出一些重要的結論。,{范例14.8} 角動量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據氫原子薛定諤方程的結

4、論，說明角動量空間量子化模型，求出角動量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,(1)氫原子的能量是不連續(xù)的，處在第n個定態(tài)的總能量為,,,,,n是主量子數。,,,根據氫原子的定態(tài)薛定諤方程解得的能級公式與玻爾氫原子理論所得結果完全相同，但是不需要象玻爾理論那樣人為地加上量子化條件。,,,,,,,(2)氫原子中電子的角動量也只能取分立的值，其大小為,,,,,,(l = 0，1，2，…，n - 1),,,,,,l為角

5、量子數或副量子數。,,,對于同一個n值，l可以取從0到n - 1共n個不同的值。,l = 0，1，2，3，4，5的狀態(tài)通常用字母s，p，d，f，g，h表示。,{范例14.8} 角動量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據氫原子薛定諤方程的結論，說明角動量空間量子化模型，求出角動量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,(3)在量子力學中，氫原子核外電子的角動量在空間任意方向(如外磁場方向)的投影也是不

6、連續(xù)的，只能取一些特殊的不連續(xù)的值Lz = ml? (ml = 0，±1，±2，…，±l),,,,,,,,,,,,,即：角動量在空間任一方向的投影也是量子化的，這種現象稱為角動量空間量子化。,,,,,,對于確定的l，ml只能取0，±1，±2，…，±l共2l + 1個值，ml稱為軌道磁量子數。,,,,,,如圖所示，角動量與某一方向的夾角為,,,由于ml是整數，所以角動量只能取一

7、些特定的方向。,(L在LxLy平面的投影用Lr表示。),,當氫原子中電子的角量子數為1時，軌道角動量為1.414?。,軌道磁量子數可取-1，0，1，這時，軌道角動量與豎直方向的夾角分別為45º，90º和135º。,當氫原子中電子的角量子數為2時，軌道角動量為2.450?。,軌道磁量子數可取-2，-1，0，1，2，這時，軌道角動量與豎直方向的夾角分別為35.26º，65.9º，和90

8、86;等。,當氫原子中電子的角量子數為3時，軌道角動量為3.464?。,軌道磁量子數可取-3，-2，-1，0，1，2，3，這時，軌道角動量與豎直方向的最小夾角為30º，最大夾角為150º。,當氫原子中電子的角量子數為4時，軌道角動量為4.472?。,軌道磁量子數可取-4到4共9個整數，這時，軌道角動量與豎直方向的最小夾角為26.57º，最大夾角為153.4º。,當角量子數為5時，軌道角動量為5.4