§3.5主成分分析方法-geocomputation,gisand

1、第五節(jié) 主成分分析方法,主成分分析的基本原理 主成分分析的計算步驟 主成分分析方法應(yīng)用實例,地理系統(tǒng)是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)。在地理學(xué)研究中，多變量問題是經(jīng)常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。 因此，人們會很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？,問題的提出：,事

2、實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的工具。 主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計分析方法。 從數(shù)學(xué)角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。,一、主成分分析的基本原理,假定有n個地理樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣,,（3.5.1）,當(dāng)p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進行降維處理，即用較少的幾個

3、綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。,定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(biāo),(3.5.2),系數(shù)lij的確定原則： ① zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無關(guān)；,② z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合

4、中方差最大者； …… zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP， 的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。,,從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2 ，…， p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷載 lij（ i=1，2，…

5、，m； j=1，2 ，…，p）。 從數(shù)學(xué)上容易知道，從數(shù)學(xué)上可以證明，它們分別是的相關(guān)矩陣的m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。,二、計算步驟,（一）計算相關(guān)系數(shù)矩陣 rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)， rij=rji，其計算公式為：,,（3.5.3）,,,（3.5.4）,（二）計算特征值與特征向量： ① 解特征方程　　　　，常用雅可比法（Jaco

6、bi）求出特征值，并使其按大小順序排列 ；,② 分別求出對應(yīng)于特征值　的特征向量 　 ，要求 　　=1，即　　　　　，其中　表示向量 的第j個分量。,③ 計算主成分貢獻率及累計貢獻率 ▲貢獻率:,▲累計貢獻率:,一般取累計貢獻率達85—95%的特征值所對應(yīng)的第一、第二、…、第m（m≤p）個主成分。,④ 計算

7、主成分載荷 　　　 ⑤ 各主成分的得分：,,,,,,,,,（3.5.5）,（3.5.6）,三、 主成分分析方法應(yīng)用實例,下面，我們根據(jù)表3.4.5給出的數(shù)據(jù)，對某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)做主成分分析，,表3.4.5 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù),步驟如下：（1）將表3.4.5中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準差標(biāo)準化處理，然后將它們代入公式（3.5.4）計算相關(guān)系數(shù)矩陣（見表3.5.1）。,表3.5.1　相關(guān)系數(shù)矩陣,（2）由相關(guān)

8、系數(shù)矩陣計算特征值，以及各個主成分的貢獻率與累計貢獻率（見表3.5.2）。由表3.5.2可知，第一，第二，第三主成分的累計貢獻率已高達86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。,表3.5.2　特征值及主成分貢獻率,（3）對于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式（3.5.5）計算各變量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷

9、（表3.5.3）。,表3.5.3 主成分載荷,①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強的正相關(guān)，與x3呈顯出較強的負相關(guān)，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的代表。 ②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強的正相關(guān)，與x1呈顯出較強的負相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認為第二主成分z2代表了人均資源量。,