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1、第五節(jié) 主成分分析方法,主成分分析的基本原理 主成分分析的計(jì)算步驟 主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例,地理系統(tǒng)是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)。在地理學(xué)研究中,多變量問(wèn)題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多,無(wú)疑會(huì)增加分析問(wèn)題的難度與復(fù)雜性,而且在許多實(shí)際問(wèn)題中,多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。 因此,人們會(huì)很自然地想到,能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上,用較少的新變量代替原來(lái)較多的舊變量,而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來(lái)變量所反映的信息?,問(wèn)題的提出:,事
2、實(shí)上,這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的,主成分分析方法就是綜合處理這種問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的工具。 主成分分析是把原來(lái)多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 從數(shù)學(xué)角度來(lái)看,這是一種降維處理技術(shù)。,一、主成分分析的基本原理,假定有n個(gè)地理樣本,每個(gè)樣本共有p個(gè)變量,構(gòu)成一個(gè)n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣,,(3.5.1),當(dāng)p較大時(shí),在p維空間中考察問(wèn)題比較麻煩。為了克服這一困難,就需要進(jìn)行降維處理,即用較少的幾個(gè)
3、綜合指標(biāo)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo),而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來(lái)較多變量指標(biāo)所反映的信息,同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。,定義:記x1,x2,…,xP為原變量指標(biāo),z1,z2,…,zm(m≤p)為新變量指標(biāo),(3.5.2),系數(shù)lij的確定原則: ① zi與zj(i≠j;i,j=1,2,…,m)相互無(wú)關(guān);,② z1是x1,x2,…,xP的一切線性組合中方差最大者,z2是與z1不相關(guān)的x1,x2,…,xP的所有線性組合
4、中方差最大者; …… zm是與z1,z2,……,zm-1都不相關(guān)的x1,x2,…xP, 的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標(biāo)z1,z2,…,zm分別稱為原變量指標(biāo)x1,x2,…,xP的第一,第二,…,第m主成分。,,從以上的分析可以看出,主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來(lái)變量xj(j=1,2 ,…, p)在諸主成分zi(i=1,2,…,m)上的荷載 lij( i=1,2,…
5、,m; j=1,2 ,…,p)。 從數(shù)學(xué)上容易知道,從數(shù)學(xué)上可以證明,它們分別是的相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。,二、計(jì)算步驟,(一)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 rij(i,j=1,2,…,p)為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù), rij=rji,其計(jì)算公式為:,,(3.5.3),,,(3.5.4),(二)計(jì)算特征值與特征向量: ① 解特征方程 ,常用雅可比法(Jaco
6、bi)求出特征值,并使其按大小順序排列 ;,② 分別求出對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量 ,要求 =1,即 ,其中 表示向量 的第j個(gè)分量。,③ 計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率 ▲貢獻(xiàn)率:,▲累計(jì)貢獻(xiàn)率:,一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85—95%的特征值所對(duì)應(yīng)的第一、第二、…、第m(m≤p)個(gè)主成分。,④ 計(jì)算
7、主成分載荷 ⑤ 各主成分的得分:,,,,,,,,,(3.5.5),(3.5.6),三、 主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例,下面,我們根據(jù)表3.4.5給出的數(shù)據(jù),對(duì)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)做主成分分析,,表3.4.5 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù),步驟如下:(1)將表3.4.5中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理,然后將它們代入公式(3.5.4)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣(見(jiàn)表3.5.1)。,表3.5.1 相關(guān)系數(shù)矩陣,(2)由相關(guān)
8、系數(shù)矩陣計(jì)算特征值,以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率(見(jiàn)表3.5.2)。由表3.5.2可知,第一,第二,第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%(大于85%),故只需要求出第一、第二、第三主成分z1,z2,z3即可。,表3.5.2 特征值及主成分貢獻(xiàn)率,(3)對(duì)于特征值=4.6610,=2.0890,=1.0430分別求出其特征向量e1,e2,e3,再用公式(3.5.5)計(jì)算各變量x1,x2,…,x9在主成分z1,z2,z3上的載荷
9、(表3.5.3)。,表3.5.3 主成分載荷,①第一主成分z1與x1,x5,x6,x7,x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān),與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān),而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況,因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。 ②第二主成分z2與x2,x4,x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān),與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān),其中,除了x1為人口總數(shù)外,x2,x4,x5都反映了人均占有資源量的情況,因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。,
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