1.3函數(shù)的極限

1、,,,,,,,,,,,,,1.3 函數(shù)的極限(110),3,播放,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),4,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),5,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),6,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),7,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3

2、 函數(shù)的極限(110),8,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),9,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),10,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),11,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),12,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),13,播放

3、,1.3.1 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,1.3 函數(shù)的極限(110),14,通過上面演示實驗的觀察:,問題：,如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.,1.3 函數(shù)的極限(110),15,1. 函數(shù)極限的定義：,1.3 函數(shù)的極限(110),16,2. 另外兩種情形：,1.3 函數(shù)的極限(110),17,,,,,,,,3. 幾何解釋(動畫)：,1.3 函數(shù)的極限(110),18,,例 1,證,,1.3 函數(shù)的極限(110)

4、,19,,,1.3.2 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限,,,,,,1.3 函數(shù)的極限(110),20,1. 函數(shù)極限的定義：,1.3 函數(shù)的極限(110),21,,2.幾何解釋:,,,,,,,,注意：,,,1.3 函數(shù)的極限(110),22,例 2,證,例 3,證,1.3 函數(shù)的極限(110),23,例 4,證,函數(shù)在點x=1處沒有定義.,1.3 函數(shù)的極限(110),24,例 5,證,1.3 函數(shù)的極限(110),25,3

5、.單側(cè)極限:,例如,,1.3 函數(shù)的極限(110),26,左極限,右極限,注意：,1.3 函數(shù)的極限(110),27,,,左右極限存在但不相等,,例 6,證,1.3 函數(shù)的極限(110),28,1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì)與運算法則,1. 唯一性,證,1.3 函數(shù)的極限(110),29,1.3 函數(shù)的極限(110),30,2. 局部有界性,證,1.3 函數(shù)的極限(110),31,1.3 函數(shù)的極限(110),32,推論,3

6、. 不等式性質(zhì),定理(保序性),1.3 函數(shù)的極限(110),33,定理(保號性),推論,1.3 函數(shù)的極限(110),34,4. 子列收斂性 (函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系),定義,定理 4,證,1.3 函數(shù)的極限(110),35,1.3 函數(shù)的極限(110),36,例如,,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系（Heine 定理）,函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在且相等。,1.3 函數(shù)的極限(110),37,例 7,證,1.

7、3 函數(shù)的極限(110),38,二者不相等,,1.3 函數(shù)的極限(110),39,5. 極限運算法則,定理 5,證,由無窮小運算法則,得,1.3 函數(shù)的極限(110),40,1.3 函數(shù)的極限(110),41,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號外面.,推論2,有界，,1.3 函數(shù)的極限(110),42,6. 求極限方法舉例,例 8,解,1.3 函數(shù)的極限(110),43,小結(jié)：,1.3 函數(shù)的極限(110),44,解,商

8、的法則不能用,由無窮小與無窮大的關(guān)系,得,例 9,1.3 函數(shù)的極限(110),45,解,例 10,(消去零因子法),1.3 函數(shù)的極限(110),46,例 11,解,(無窮小項分離法),1.3 函數(shù)的極限(110),47,小結(jié)：,無窮小項分離法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.,1.3 函數(shù)的極限(110),48,例 12,解,1.3 函數(shù)的極限(110),49,例 13,,,解,左右極限存

9、在且相等,,1.3 函數(shù)的極限(110),50,注意,準(zhǔn)則 I和準(zhǔn)則 I’統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則.,7. 求函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則,1.3 函數(shù)的極限(110),51,,1.3.4 兩個重要極限,1、,,,,1.3 函數(shù)的極限(110),52,1.3 函數(shù)的極限(110),53,例 14,解,1.3 函數(shù)的極限(110),54,2、,（1） 證明,1.3 函數(shù)的極限(110),55,（2） 證明,1.3 函數(shù)的極限(110)

10、,56,綜上可得：,1.3 函數(shù)的極限(110),57,例 15 證明,證,1.3 函數(shù)的極限(110),58,例 16,解,例 17,解,1.3 函數(shù)的極限(110),59,1、無窮大,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,1.3.5 無窮小的比較,1.3 函數(shù)的極限(110),60,特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．,注意：,1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.

11、,1.3 函數(shù)的極限(110),61,無界，,1.3 函數(shù)的極限(110),62,證,,1.3 函數(shù)的極限(110),63,極限為零的變量稱為無窮小.,2、無窮小,1.3 函數(shù)的極限(110),64,例如,,注意：,1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,1.3 函數(shù)的極限(110),65,3、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,1.3 函數(shù)的極限(110),66,意義：,1.將

12、一般極限問題轉(zhuǎn)化為無窮小問題;,4、無窮小的運算性質(zhì):,性質(zhì)1 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,證,1.3 函數(shù)的極限(110),67,注意：無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,1.3 函數(shù)的極限(110),68,性質(zhì) 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,證,1.3 函數(shù)的極限(110),69,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限

13、個無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,1.3 函數(shù)的極限(110),70,5、無窮小與無窮大的關(guān)系,定理7 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;非零無窮小的倒數(shù)為無窮大.,證,1.3 函數(shù)的極限(110),71,意義：關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,1.3 函數(shù)的極限(110),72,6、無窮小的比較,例如,,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,觀察各極限,1.3 函數(shù)的極限(110)

14、,73,,,,,,,,1.3 函數(shù)的極限(110),74,例 18,解,例 19,解,1.3 函數(shù)的極限(110),75,常用等價無窮小：,函數(shù)的近似表達式:,例如,,1.3 函數(shù)的極限(110),76,等價無窮小替換,定理 8 (等價無窮小替換定理),證,1.3 函數(shù)的極限(110),77,例 20,解,千萬不能濫用等價無窮小代換！,（對于代數(shù)和中各無窮小項不能分別替換!）,注意:,1.3 函數(shù)的極限(110),78,例 2

15、1,解,解,錯,1.3 函數(shù)的極限(110),79,例 22,解,1.3 函數(shù)的極限(110),80,函數(shù)極限的統(tǒng)一定義,(見下表),1.3.6 小結(jié)與思考題1，2,1.3 函數(shù)的極限(110),81,1.3 函數(shù)的極限(110),82,思考題,1.3 函數(shù)的極限(110),83,思考題解答,左極限存在,,右極限存在,,不存在.,1.3 函數(shù)的極限(110),84,一、填空題:,課堂練習(xí)題,1.3 函數(shù)的極限(110)

16、,85,課堂練習(xí)題答案,1.3 函數(shù)的極限(110),86,1.極限的四則運算法則及其推論;,2.極限求法;,a. 多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b. 消去零因子法求極限;c. 無窮小項分離法求極限;d. 利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e. 利用左右極限求分段函數(shù)極限.,1.3.6 小結(jié)與思考題3,1.3 函數(shù)的極限(110),87,思考題,在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么

17、 是否有極限？為什么？,1.3 函數(shù)的極限(110),88,思考題解答,沒有極限．,假設(shè) 有極限，,有極限，,由極限運算法則可知：,必有極限，,與已知矛盾，,故假設(shè)錯誤．,1.3 函數(shù)的極限(110),89,一、填空題:,課堂練習(xí)題,1.3 函數(shù)的極限(110),90,二、求下列各極限:,1.3 函數(shù)的極限(110),91,課堂練習(xí)題答案,1.3 函

18、數(shù)的極限(110),92,1.3.6 小結(jié)與思考題4,1. 兩個準(zhǔn)則,2. 兩個重要極限,夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 .,1.3 函數(shù)的極限(110),93,思考題,求極限,1.3 函數(shù)的極限(110),94,思考題解答,1.3 函數(shù)的極限(110),95,一、填空題:,課堂練習(xí)題,1.3 函數(shù)的極限(110),96,二、求下列各極限:,1.3 函數(shù)的極限(110),97,1.3 函數(shù)的極限(110),98,課堂練習(xí)題答

19、案,1.3 函數(shù)的極限(110),99,1、主要內(nèi)容:,兩個定義;四個定理;三個推論.,2、幾點注意:,無窮小與無窮大是相對于過程而言的.,（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小數(shù)；,（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.,（3） 無界變量未必是無窮大.,1.3.6 小結(jié)與思考題5,1.3 函數(shù)的極限(110),100,思考題,1.3 函數(shù)的極限(110),101,思考題解答,不能

20、保證.,例,有,1.3 函數(shù)的極限(110),102,一、填空題:,課堂練習(xí)題,1.3 函數(shù)的極限(110),103,課堂練習(xí)題答案,1.3 函數(shù)的極限(110),104,3. 無窮小的比較:,反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較.,4. 等價無窮小的替換:,求極限的又一種方法, 注意適用條件.,高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.,1.3 函數(shù)的極限(110)