相似原理與量綱分析法

1、,,第12章 相似原理與量綱分析法,粘性流體基本方程組求解非常困難，在解決實(shí)際問題時都要加以簡化，但簡化不能是隨意的，需要有一定的規(guī)則，簡化之后的解是否符合實(shí)際必須通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。但通常由于影響因素很多，如果安排實(shí)驗(yàn)才能合理地反映流動規(guī)律？模型實(shí)驗(yàn)如何進(jìn)行？實(shí)驗(yàn)結(jié)果有多大推廣價值？如果根本沒有方程時又如何處理？……需要有理論加以指導(dǎo)。,,§12-1 相似原理,例：管內(nèi)流動阻力　　　　△P=f(ρ，V，d，μ，g，ε)　實(shí)

2、驗(yàn)時每個參數(shù)改變5次，則實(shí)際次數(shù)為56=15625次。每次花1小時，每天8小時，則需1953天≈3年！,如采用量綱分析法得到無量綱準(zhǔn)則方程：,一．流動相似,長度：,1、幾何相似：　夾角相等，形狀相似，幾何尺寸對應(yīng)成比例。,面積：,體積：,?流動相似,速度：,2、運(yùn)動相似：　對應(yīng)時空點(diǎn)的速度方向相同，大小成比例。,加速度：,體積流量：,?流動相似,3、動力相似：　對應(yīng)點(diǎn)受力類型、方向相同，大小成比例。,其中，F(xiàn)：合力，F(xiàn)?：粘性力，

3、G：質(zhì)量力，P：壓力，：?P壓力差,?流動相似,溫度：,4、熱力相似：　對應(yīng)點(diǎn)溫度（差）成比例，熱流方向相同、大小成比例。,熱流量：,二．相似準(zhǔn)數(shù),例： 對不可壓縮流體的非定常等溫流動，當(dāng)質(zhì)量力只有重力，直角坐標(biāo)下，N-S方程（Z方向）：,當(dāng)兩流動滿足流動相似條件時，屬于同一類物理現(xiàn)象，其運(yùn)動規(guī)律可由完全相同的微分方程組來描述。,原型方程：,模型方程：,流動相似：,代入模型方程：,欲使該方程與原型方程完全相同，則方程各項(xiàng)的系數(shù)對應(yīng)成

4、比例：,其中：,位變慣性力；,壓力,質(zhì)量力,粘性力；,合力,時變慣性力；,用第二項(xiàng)遍除，則：,定義：準(zhǔn)則數(shù),牛頓數(shù)： Newton Number,斯特羅哈數(shù)： Strouhal Number,傅羅德數(shù)： Froude Number,雷諾數(shù)： Reynolds Number,歐拉數(shù)： Euler Number,其它準(zhǔn)則數(shù)：,馬赫

5、數(shù)： Mach Number,韋伯?dāng)?shù)： Weber Number,普朗特數(shù)： Prandtl Number,帕克列特數(shù)： Peclet Number,格拉曉夫數(shù)： Grashof Number,?？颂財?shù)： Eckert Number,于是模型方程可寫成：,即，對應(yīng)時空點(diǎn)所對應(yīng)的準(zhǔn)則數(shù)相等。,模型與原型相似

6、，要求：,或：,三、局部相似,若采用同種流體，則：,例：對不可壓流體，如粘性力相似，　　則Re相等：,同時重力相似，則Fr相等：,于是：,如取模型/原型=1/10，則：,即模型與原型相同。,這很難做到！,?局部相似,(A) 將準(zhǔn)則數(shù)用相應(yīng)的特征量表示，取代點(diǎn)準(zhǔn)則數(shù)；,(B) 只考慮主要準(zhǔn)則數(shù)，忽略次要因素。,相似原理的作用：,(A) 由運(yùn)動方程導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)，并用來指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)；,(B)對運(yùn)動方程進(jìn)行簡化：　將基本方程無量綱化→出現(xiàn)相似準(zhǔn)

7、數(shù)，比較量級大小，小量級項(xiàng)忽略，→還原方程，則少去若干項(xiàng)（或變量）。,§12-2 基本方程組的相似變換,為簡要說明其方法，仍以不可壓縮流動為例,,引入特征尺寸L，,無量綱化：,則：,于是，得到以下無量綱方程組：,特征時間,特征溫度,特征速度,不出現(xiàn)無量綱數(shù)，說明不受流動參數(shù)的影響。,1）連續(xù)性方程:,2）動量方程：　　　　　　　

8、 非定常項(xiàng)　 　對流項(xiàng) 重力 壓差 粘性應(yīng)力當(dāng)準(zhǔn)則數(shù)很大或很小時，可以忽略有關(guān)的項(xiàng)，從而簡化方程。比如：物體尺寸很小，流速振動周期很大時，St會很小，非定常項(xiàng)可忽略；高速流動（大尺度），F(xiàn)r很大，可忽略重力項(xiàng)；大尺度高速流動，Re很大，甚至可忽略粘性項(xiàng)（即理想流體），Re很小時，則可忽略粘性項(xiàng)→轉(zhuǎn)化為線性微分方程。

9、,3）能量方程：　　　 　　　　　 對流傳熱 　熱傳導(dǎo) 　　粘性耗散當(dāng)Re很大時，右邊均可忽略，于是　　　　,θ≈常數(shù)（等溫運(yùn)動）。整個傳熱效應(yīng)可不考慮。,規(guī) 則：,1）對于粘性運(yùn)動，Re通常是重要的相似準(zhǔn)數(shù)；,2）為使非定常流動相似，St要相等；,3）有自由面的流動，F(xiàn)r和Gr是重要的；,4）有傳熱的流動，Pr是重要的；,5）高速流的傳熱，Ec是重要的。,§12-3 量綱分析法,一、基本

10、量綱,基本單位： 長度 [L]、時間 [τ]、質(zhì)量 [M]、溫度 [T],導(dǎo)出單位： 力 [MLτ-2]、 壓強(qiáng) [ML-1τ-2]、 動力粘度 [M L-1τ-1]、 運(yùn)動粘度 [L2τ-1]、 密度 [Mτ-3]、 速度 [Lτ-1]、 加速度 [Lτ-2]、 導(dǎo)熱系數(shù) [M

11、τ-3T]、 比熱 [L2T-1τ-2]，……,二、雷利法（Rayleigh ,1899年）,1）將影響流動過程的n個物理量的隱函數(shù),寫成冪函數(shù)形式：,2）用基本量綱表示各物理量;,3）根據(jù)量綱和諧原則，方程兩邊基本量綱的指數(shù)應(yīng)相等， 即構(gòu)成指數(shù)應(yīng)滿足的方程（4個方程）,4）當(dāng)n≤4時可直接求解，當(dāng)n＞4時，有n-4個指數(shù)待定;,5）適當(dāng)選擇待定指數(shù)構(gòu)造出準(zhǔn)則數(shù)。,示例：管內(nèi)層流運(yùn)動的壓力損失,設(shè)與ρ，u，d，μ

12、，l 有關(guān)，則,方程三個，未知數(shù)5個。,（等溫流動）,則,如?。?則：,如取：,則：,對比理論結(jié)果：,可知：,三、?定理（Buckingham ,1914年）,1）列出影響因素：n個物理量，寫成隱函數(shù)形式：,2）選擇其中三個（不考慮溫度時）在量綱上基本獨(dú)立的 物理量x1,x2,x3，對等溫流動可取l，u，ρ.,3）用三個量的組合，來表示x4,x5,……xn共n-3個物理量,4）比較[M],[L],[ τ]的因次，解出全部,

13、5）建立（n-3）個無量綱的綜合物理量，稱π 項(xiàng)（無量綱）,6）將待求函數(shù)關(guān)系式寫成（n-3）個π 項(xiàng)的關(guān)系式：,(i=4,5,……n),示例：某流動現(xiàn)象由下列因素決定：,流速V，密度?，線形尺寸，壓差?P，重力加速度g，動力粘度?，表面張力?，彈性模量E等，現(xiàn)有π定理建立相似準(zhǔn)則。,解： 設(shè),取?，V，l 為基本量，則,解得：,即Eu數(shù),故,同理可得：,無量綱方程：,或?qū)懗桑?或：,如：對不可壓管內(nèi)流動，F(xiàn)r，We，M均不重要，可

14、忽略。,則：,實(shí)驗(yàn)證明：,為線性關(guān)系,于是：,只需對和Re和?/d做有限次實(shí)驗(yàn)，可得出的具體關(guān)系式，則流動阻力關(guān)系式即完全確定。------尼古拉茲實(shí)驗(yàn),取阻力系數(shù)：,則：,稱Darchy公式,如,（阿里特蘇里公式）,?小 結(jié),(A) 由?定理可方便地求出全部準(zhǔn)則數(shù)；,(B) 無需知道運(yùn)動方程，結(jié)合實(shí)際即可得到應(yīng)用面 廣泛的準(zhǔn)則方程；,(C) 其作用絕不亞于對基本方程求得解析解，這 是實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)可以獨(dú)立發(fā)展的重要