單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型理論與方法

1、第二章 經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：一元線性回歸模型,回歸分析概述 一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì) 一元線性回歸模型檢驗(yàn)一元線性回歸模型預(yù)測(cè)實(shí)例,§2.1 回歸分析概述,一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù)（PRF）三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)四、樣本回歸函數(shù)（SRF）,一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念,1. 變量間的關(guān)系（1）確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。,（2）統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)

2、關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系。,對(duì)變量間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlation analysis)或回歸分析(regression analysis)來完成的,注意①不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)。②有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系。③回歸分析/相關(guān)分析研究一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)（些）變量的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，但它們并不意味著一定有因果關(guān)系。④相關(guān)分析對(duì)稱地對(duì)待任何（兩個(gè)）變量，兩個(gè)變量都被看作是隨機(jī)的?；貧w

3、分析對(duì)變量的處理方法存在不對(duì)稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機(jī)變量，后者不是。,2. 回歸分析的基本概念回歸分析(regression analysis)是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的具體依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論。其目的在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計(jì)和（或）預(yù)測(cè)前者的（總體）均值。被解釋變量（Explained Variable）或應(yīng)變量（Dependent Variable）。解釋變量（

4、Explanatory Variable）或自變量（Independent Variable）。,回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：（1）根據(jù)樣本觀察值對(duì)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求得回歸方程；（2）對(duì)回歸方程、參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；（3）利用回歸方程進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)及預(yù)測(cè)。,二、總體回歸函數(shù),回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋

5、變量所有可能出現(xiàn)的對(duì)應(yīng)值的平均值。,例2.1：一個(gè)假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。 即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測(cè)該社區(qū)家庭的平均月消費(fèi)支出水平。 為達(dá)到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費(fèi)支出。,由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X，不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同；但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確

6、定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。,因此，給定收入X的值Xi，可得消費(fèi)支出Y的條件均值（conditional mean）或條件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。該例中：E(Y | X=800)=561描出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一

7、根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。,在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（population regression line），或更一般地稱為總體回歸曲線（population regression curve）。,稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（population regression function, PRF）。,相應(yīng)的函數(shù)：,含義：回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解

8、釋變量X變化的規(guī)律。,函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。,例2.1中，將居民消費(fèi)支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時(shí):,為一線性函數(shù)。其中，?0，?1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regression coefficients）。,三、隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費(fèi)支出水平。但對(duì)某一個(gè)別的家庭，其消費(fèi)支出可能與該平均水平有偏差。稱為觀察值圍繞它的期望值的離差（deviation），是一個(gè)不可觀測(cè)的隨

9、機(jī)變量，又稱為隨機(jī)干擾項(xiàng)（stochastic disturbance）或隨機(jī)誤差項(xiàng)（stochastic error）。,例2.1中，給定收入水平Xi ,個(gè)別家庭的支出可表示為兩部分之和：（1）該收入水平下所有家庭的平均消費(fèi)支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分；（2）其他隨機(jī)或非確定性（nonsystematic)部分?i。,稱為總體回歸函數(shù)（PRF）的隨機(jī)設(shè)定形式。表明被解

10、釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機(jī)性影響。由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。,隨機(jī)誤差項(xiàng)主要包括下列因素：在解釋變量中被忽略的因素的影響；變量觀測(cè)值的觀測(cè)誤差的影響；模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；其他隨機(jī)因素的影響。產(chǎn)生并設(shè)計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要原因：理論的含糊性；數(shù)據(jù)的欠缺；節(jié)省原則。,四、樣本回歸函數(shù)（SRF）,問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從

11、抽樣中獲得總體的近似信息？例2.2：在例2.1的總體中有如下一個(gè)樣本，能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF？,回答：能,該樣本的散點(diǎn)圖（scatter diagram)：,畫一條直線以盡好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該直線近似地代表總體回歸線。該直線稱為樣本回歸線（sample regression lines）。,,,,記樣本回歸線的函數(shù)形式為：,稱為樣本回歸函數(shù)（sample regression function，SRF

12、）。,注意：這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代,則,樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式/樣本回歸模型：,同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機(jī)形式：,由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為樣本回歸模型（sample regression model）。,▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。,即，根據(jù),估計(jì),,注意：這里PRF可能永遠(yuǎn)無法知道。,§2.2 一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì),一、一

13、元線性回歸模型的基本假設(shè) 二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（OLS） 三、參數(shù)估計(jì)的最大或然法(ML) 四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì) 五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干 擾項(xiàng)方差的估計(jì),說 明,單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型分為兩大類：線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系一元線性回歸模型：只有一個(gè)解釋變量,i=1,2,…,n,Y為被解釋變量，X為解釋變量，?0與?1為待估參數(shù)

14、， ?為隨機(jī)干擾項(xiàng),回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)總體回歸函數(shù)（模型）PRF。估計(jì)方法有多種，其中最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)。實(shí)際這些假設(shè)與所采用的估計(jì)方法緊密相關(guān)。,一、線性回歸模型的基本假設(shè),假設(shè)1. 解釋變量X是確定性變量，不是隨機(jī)變量； 假設(shè)2. 隨機(jī)誤差項(xiàng)?

15、具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： E(?i)=0 i=1,2, …,n Var (?i)=??2 i=1,2, …,n Cov(?i, ?j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n,假設(shè)3. 隨機(jī)誤差項(xiàng)?與解釋變量X之間不相關(guān)：

16、 Cov(Xi, ?i)=0 i=1,2, …,n 假設(shè)4. ?服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 ?i~N(0, ??2 ) i=1,2, …,n,如果假設(shè)1、2滿足，則假設(shè)3也滿足; 如果假設(shè)4滿足，則假設(shè)2也滿足。,注意：,以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典

17、線性回歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。,另外，在進(jìn)行模型回歸時(shí)，還有兩個(gè)暗含的假設(shè)：,假設(shè)5. 隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即,假設(shè)6. 回歸模型是正確設(shè)定的,假設(shè)5旨在排除時(shí)間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因?yàn)檫@類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計(jì)推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spurious regression probl

18、em）。假設(shè)6也被稱為模型沒有設(shè)定偏誤（specification error）,二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)（OLS）,給定一組樣本觀測(cè)值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值. 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和,最小。,方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normal equations）。,記,上述參數(shù)估計(jì)量可以寫成：,稱為

19、OLS估計(jì)量的離差形式（deviation form）。 由于參數(shù)的估計(jì)結(jié)果是通過最小二乘法得到 的，故稱為普通最小二乘估計(jì)量（ordinary least squares estimators）。,順便指出 ，記,則有,可得,（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。,（**）,注意： 在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，往往以小寫字母表示對(duì)均值的離差。,三、參數(shù)估計(jì)的最大或然法(ML),最大或然法(Maximum Likelihood

20、,簡(jiǎn)稱ML)，也稱最大似然法，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計(jì)方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其他估計(jì)方法的基礎(chǔ)。 基本原理： 對(duì)于最大或然法，當(dāng)從模型總體隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值后，最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測(cè)值的概率最大。,在滿足基本假設(shè)條件下，對(duì)一元線性回歸模型：,隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。,那么Yi服從如下的正態(tài)分布：,于是，Y的概率函數(shù)為,（

21、i=1,2,…n）,假如模型的參數(shù)估計(jì)量已經(jīng)求得，為,因?yàn)閅i是相互獨(dú)立的，所以的所有樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率，也即或然函數(shù)(likelihood function)為：,將該或然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計(jì)量。,由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對(duì)數(shù)的極大化是等價(jià)的，所以，取對(duì)數(shù)或然函數(shù)如下：,解得模型的參數(shù)估計(jì)量為：,可見，在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計(jì)量與普通最小二乘估計(jì)量是相同的。,例2.2.

22、1：在上述家庭可支配收入-消費(fèi)支出例中，對(duì)于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計(jì)的計(jì)算可通過下面的表2.2.1進(jìn)行。,因此，由該樣本估計(jì)的回歸方程為：,四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì),當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。,一個(gè)用于考察總體的估計(jì)量，可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性： （1）線性性，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；,（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)

23、值；（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。 這三個(gè)準(zhǔn)則也稱作估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。 擁有這類性質(zhì)的估計(jì)量稱為最佳線性無偏估計(jì)量（best liner unbiased estimator, BLUE）。,（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時(shí)，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時(shí)，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時(shí)，是否它在所有的一致估

24、計(jì)量中具有最小的漸近方差。,,當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時(shí)，需進(jìn)一步考察估計(jì)量的大樣本或漸近性質(zhì)：,高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計(jì)量是具有最小方差的線性無偏估計(jì)量。,證：,易知,故,同樣地，容易得出,（2）證明最小方差性,其中，ci=ki+di，di為不全為零的常數(shù)則容易證明,普通最小二乘估計(jì)量（ordinary least Squares Esti

25、mators）稱為最佳線性無偏估計(jì)量（best linear unbiased estimator, BLUE）,由于最小二乘估計(jì)量擁有一個(gè)“好”的估計(jì)量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。,五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì),2. 隨機(jī)誤差項(xiàng)?的方差?2的估計(jì),?2又稱為總體方差。,,由于隨機(jī)項(xiàng)?i不可觀測(cè)，只能從?i的估計(jì)——?dú)埐頴i出發(fā)，對(duì)總體方差進(jìn)行估計(jì)。 可以證明， ?2的最小二乘估計(jì)量為,它是關(guān)于?

26、2的無偏估計(jì)量。,在最大或然估計(jì)法中，,因此， ?2的最大或然估計(jì)量不具無偏性，但卻具有一致性。,§2.3 一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 二、變量的顯著性檢驗(yàn) 三、參數(shù)的置信區(qū)間,說 明,回歸分析是要通過樣本所估計(jì)的參數(shù)來代替總體的真實(shí)參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復(fù) 抽樣，參數(shù)的估計(jì)值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計(jì)

27、值不一定就等于該真值。,那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。主要包括擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量的顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。,一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn),擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。 度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2,問題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？,1、總離差平方和的分解,已知由一組樣本

28、觀測(cè)值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線,如果Yi=?i 即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好。 可認(rèn)為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。,對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和,可以證明：,,TSS=ESS+RSS,記,總體平方和（Total Sum of Squares）,回歸平方和（Explained Sum of Squares）,殘差平方和（Residual Sum of

29、Squares ）,Y的觀測(cè)值圍繞其均值的總離差(total variation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機(jī)勢(shì)力(RSS)。,在給定樣本中，TSS不變，如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此擬合優(yōu)度＝回歸平方和ESS/總離差TSS,2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量,稱 R2 為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficient of determination)。,可決系數(shù)的取

30、值范圍：[0，1] R2越接近1，說明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。,,在例2.1.1的收入－消費(fèi)支出例中，,注：可決系數(shù)是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這將在第3章中進(jìn)行。,二、變量的顯著性檢驗(yàn),回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個(gè)顯著性的影響因素。 在一元線性模型中，就是要判斷X是否對(duì)Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行

31、變量的顯著性檢驗(yàn)。,變量的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。,1、假設(shè)檢驗(yàn),所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。,假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法 先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由

32、此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的,2、變量的顯著性檢驗(yàn),檢驗(yàn)步驟：,（1）對(duì)總體參數(shù)提出假設(shè) H0： ?1=0， H1：?1?0,（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其值,（3）給定顯著性水平?，查t分布表得臨界值t ?/2(n-2),,(4) 比較，判斷 若 |t|> t ?/2(

33、n-2)，則拒絕H0 ，接受H1 ； 若 |t|? t ?/2(n-2)，則拒絕H1 ，接受H0 ； 對(duì)于一元線性回歸方程中的?0，可構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：,,在上述收入—消費(fèi)支出例中，首先計(jì)算?2的估計(jì)值,t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為：,給定顯著性水平?=0.05，查t分布表得臨界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|>2.

34、306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量； |t2|<2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。,假設(shè)檢驗(yàn)可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。,三、參數(shù)的置信區(qū)間,要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值

35、為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的置信區(qū)間估計(jì)。,,如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidence interval）； 1-?稱為置信系數(shù)（置信度）（confidence coefficient）， ?稱為顯著性水平（level of significance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為置信限（confidence limit）或臨界值（critical values）。,

36、一元線性模型中，?i (i=1，2）的置信區(qū)間:,在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：,意味著，如果給定置信度（1-?），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t?/2, t?/2)的概率是(1-? )。表示為：,即,,于是得到:(1-?)的置信度下, ?i的置信區(qū)間是,在上述收入-消費(fèi)支出例中，如果給定? =0.01，查表得：,由于,,于是，?1、?0的置信區(qū)間分別為： （0.6345,0.9195

37、) （-433.32,226.98）,由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。要縮小置信區(qū)間，需要（1）增大樣本容量n。因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较?，n越大，t分布表中的臨界值越??；同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減小；,（2）提高模型的擬合優(yōu)度。因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。

38、 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。,,要縮小置信區(qū)間，需 （1）增大樣本容量n，因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较?，n越大，t分布表中的臨界值越??；同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減?。?（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。,§2.4 一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問題,

39、一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)值Y0的一個(gè)無偏估計(jì)二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間,對(duì)于一元線性回歸模型,給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值?0 ，可以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)別值Y0的一個(gè)近似估計(jì)。,嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。原因: （1）參數(shù)估計(jì)量不確定； （2）隨機(jī)項(xiàng)的影響,說 明,一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)值Y0的一

40、個(gè)無偏估計(jì),對(duì)總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=?0+?1X，X=X0時(shí) E(Y|X=X0)=?0+?1X0,于是,可見，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計(jì)。,對(duì)總體回歸模型Y=?0+?1X+?，當(dāng)X=X0時(shí),于是,二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間,1、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間,由于,于是,可以證明,因此,故,于是，在1-?的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為,其中,2、總體個(gè)

41、值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間,由 Y0=?0+?1X0+? 知:,于是,式中 :,從而在1-?的置信度下， Y0的置信區(qū)間為,在上述收入—消費(fèi)支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為:,則在 X0=1000處， ?0 = –103.172+0.777×1000=673.84,而,因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為： 673.84-2.306?61.05< E(Y|X=1000) <673.

42、84+2.306?61.05或 （533.05, 814.62） 同樣地，對(duì)于Y在X=1000的個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為： 673.84 - 2.306?61.05<Yx=1000 <673.84 + 2.306?61.05或 (372.03, 975.65),,

43、總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidence band） 個(gè)體的置信帶（域）,對(duì)于Y的總體均值E(Y|X)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）:,（1）樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低；（2）樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度當(dāng)在X均值處最小，其附近進(jìn)行預(yù)測(cè)（插值預(yù)測(cè)）精度越大；X越遠(yuǎn)離其均值，置信帶越寬，預(yù)測(cè)可信度下降。,§2.5 實(shí)例：時(shí)間序列問題,一、中國居民人均消費(fèi)模型 二、時(shí)間序列問題,一、中國居民人均

44、消費(fèi)模型,例2.5.1 考察中國居民收入與消費(fèi)支出的關(guān)系。,GDPP： 人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（1990年不變價(jià)）CONSP：人均居民消費(fèi)（以居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（1990=100）縮減）。,,1. 建立模型 擬建立如下一元回歸模型,采用Eviews軟件進(jìn)行回歸分析的結(jié)果見下表,該兩組數(shù)據(jù)是1978—2000年的時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time series data）； 前述收入—消費(fèi)支出例中的數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)（cross-sectional d

45、ata）。,一般可寫出如下回歸分析結(jié)果：,(13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23DW=0.5503,R2=0.9927T值：C：13.51， GDPP：53.47 臨界值: t0.05/2(21)=2.08斜率項(xiàng)：0<0.3862<1，符合絕對(duì)收入假說,2. 模型檢驗(yàn),3. 預(yù)測(cè),2001年：GDPP=4033.

46、1（元）（1990年不變價(jià)）,點(diǎn)估計(jì)：CONSP2001= 201.107 + 0.3862?4033.1 = 1758.7（元）,2001年實(shí)測(cè)的CONSP（1990年價(jià)）:1782.2元， 相對(duì)誤差: -1.32%。,2001年人均居民消費(fèi)的預(yù)測(cè)區(qū)間,人均GDP的樣本均值與樣本方差： E(GDPP) =1823.5

47、 Var(GDPP) = 982.042=964410.4 在95%的置信度下，E(CONSP2001)的預(yù)測(cè)區(qū)間為：,=1758.7?40.13或： （1718.6,1798.8）,同樣地，在95%的置信度下，CONSP2001的預(yù)測(cè)區(qū)間為：,=1758.7?86.57或 （1672.1, 1845.3）,二、時(shí)間序列問題,上述實(shí)例表明，時(shí)間序列完全可以進(jìn)行類似于截面數(shù)據(jù)的回歸分析。

48、 然而，在時(shí)間序列回歸分析中，有兩個(gè)需注意的問題： 第一，關(guān)于抽樣分布的理解問題。 能把表2.5.1中的數(shù)據(jù)理解為是從某個(gè)總體中抽出的一個(gè)樣本嗎？,可決系數(shù)R2，考察被解釋變量Y的變化中可由解釋變量X的變化“解釋”的部分。 這里“解釋”能否換為“引起”?,第二，關(guān)于“偽回歸問題”（spurious regression problem）。,在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問題中，對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)作回歸，即使兩個(gè)變量間沒有任何的實(shí)際聯(lián)系，