微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

1、德州學(xué)院德州學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系2007屆信息與信息與計(jì)算科學(xué)算科學(xué)專業(yè)專業(yè)畢業(yè)論畢業(yè)論文1微分方程數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的探究微分方程數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的探究李正祥（德州學(xué)院山東德州253023）摘要：本文首先介紹了微分方程和數(shù)學(xué)建模，接著介紹了二者相結(jié)合的特點(diǎn)及其結(jié)合后解決實(shí)際問題的一般性步驟，后有在不同領(lǐng)域，通過模擬近似法、微元分析法建模、規(guī)律類建模三種方法解決現(xiàn)實(shí)中的微分方程建模問題，實(shí)際探究了微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用關(guān)鍵字：微分方程，數(shù)學(xué)建模，

2、模擬近似法建模，微元分析法建模，規(guī)律類建模1引言微分方程是研究未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程，更是研究函數(shù)變化規(guī)律的得力工具在軍事中的導(dǎo)彈彈道計(jì)算與飛機(jī)飛行中的穩(wěn)定性研究和化學(xué)中的穩(wěn)定性研究都可以用微分方程來求解，而海王星的發(fā)現(xiàn)也得益于微分方程數(shù)學(xué)建模是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而作的抽象的、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)它是用數(shù)學(xué)的語言——公式、符號(hào)、圖表等刻畫和描述一個(gè)實(shí)際問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)的處理——計(jì)算、迭代等得到定量的結(jié)果，以供人們作分析

3、、預(yù)報(bào)、決策和控制2微分方程建模的一般步驟微分方程建模是用數(shù)學(xué)中微分方程解決實(shí)際問題的橋梁，具有極大的普遍性、有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，并在物理學(xué)、力學(xué)、工程學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用應(yīng)用微分方程理論針對(duì)各種實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型，一般而言都是動(dòng)態(tài)模型，其結(jié)果極其簡(jiǎn)明，但整個(gè)推導(dǎo)過程卻有點(diǎn)繁雜，不過還是能給人們以合理的解釋因此，選準(zhǔn)切入點(diǎn)，將微分方程和數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合才能充分體現(xiàn)微分方程建模的思想

4、意圖當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間（或空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測(cè)它的未來狀態(tài)、研究它的控制手段時(shí)，通常要建立動(dòng)態(tài)模型而針對(duì)不同的實(shí)際對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型，進(jìn)行微分方程建模的一般性步驟是：（1）用較精練的語言敘述待解決的問題德州學(xué)院德州學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系2007屆信息與信息與計(jì)算科學(xué)算科學(xué)專業(yè)專業(yè)畢業(yè)論畢業(yè)論文3總數(shù)很大，可近似地這樣處理，此乃離散變量連續(xù)化處理)，據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)，在到時(shí)間段內(nèi)，人口的增長(zhǎng)量為ttt?????

5、???ttrNtNttN?????并設(shè)時(shí)刻的人口數(shù)為，于是0tt?0N?????????00NtNrNdtdN這就是馬爾薩斯人口模型，用分離變量法易求出其解為????00ttreNtN??此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無限增長(zhǎng)模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為，而在以后的7年91006.3?中，人口總數(shù)以每年2%的速度增長(zhǎng)。這樣，，，19610?t901006.3??N，于是02.0?r????196102.091006.3??

6、?tetN這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在17001961年間世界人口總數(shù)因?yàn)?，這期間地球上的人口大約每35年翻一番，而上式斷定34.6年增加一倍但是，后來人們以美國人口為例，用馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果與人口資料比較，卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異尤其是在用此模型預(yù)測(cè)遙遠(yuǎn)的未來地球人口總數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)更加令人不可思議的問題，如果按此模型計(jì)算，到2670年，地球上將有3萬6000億人口如果地球表面全是陸地(事實(shí)上，地球表面還有70%以上被水覆蓋)，我們也只能互相踩