芝諾悖論的極限分析

1、1芝諾悖論的極限分析學(xué)生姓名：王慧文指導(dǎo)教師：岳進(jìn)摘要：古希臘哲學(xué)家芝諾提出了著名的“二分法”，其結(jié)論的荒謬性不言而喻，可是對(duì)他的論證我們似乎很難找出毛病，好像是可以接受的。其結(jié)論之所以不可以接受，源于在他的論證中隱藏著一些謬論。在極限方面過程中把帶有統(tǒng)一度量單位的“無窮”混為一談。在哲學(xué)方面違反了辯證法的客觀性原則、全面性原則和對(duì)立統(tǒng)一性原則；但芝諾悖論的提出，對(duì)辯證法的方法，以及運(yùn)動(dòng)過程中諸要素的多種矛盾，通過邏輯運(yùn)算對(duì)芝諾悖論的荒

2、謬性進(jìn)行反駁，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了很大的作用。同時(shí)本文利用數(shù)學(xué)求極限的方法通過邏輯運(yùn)算揭示阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜結(jié)論的錯(cuò)誤。關(guān)鍵詞：悖論；無窮與有窮；運(yùn)動(dòng)與靜止；連續(xù)與間斷引言：數(shù)學(xué)悖論是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的一個(gè)重要的存在形態(tài)它是數(shù)學(xué)體系中出現(xiàn)的一種尖銳的矛盾對(duì)于這一矛盾的處理與研究豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)容促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。芝諾是公元五世紀(jì)古希臘埃利亞學(xué)派的代表人物。芝諾“二分法”悖論是說，你不能在有限的時(shí)間內(nèi)穿過無窮的點(diǎn)。在你穿過一定的距離的全部之前

3、你必須穿過這個(gè)距離的一半。這樣做下去就會(huì)陷入無止境所以在任何一定的空間中都有無窮個(gè)點(diǎn)你不能在有限的時(shí)間中一個(gè)接一個(gè)地接觸無窮個(gè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)只是假象，不動(dòng)不變才是真實(shí)。假如承認(rèn)有運(yùn)動(dòng)，就得承認(rèn)速度最快的趕不上速度最慢的”，即快的“只能無限地接近但永遠(yuǎn)不能趕上”慢的。因?yàn)椋斓囊飞下?，總要到達(dá)慢的所處，的所經(jīng)過的每個(gè)出發(fā)點(diǎn)，而當(dāng)它到達(dá)第一個(gè)出發(fā)點(diǎn)時(shí)，慢的已經(jīng)往前走了“一段，即阿基里斯追趕烏龜?shù)馁惻?。芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對(duì)，但是，他如此尖銳地

4、提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散的問題，引起人們長(zhǎng)期的討論和發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻(xiàn)。本論文就是通過極限與哲學(xué)的分析，對(duì)芝諾悖論進(jìn)行剖析。1、悖論對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生的作用1.1從悖論說起什么是悖論？它既屬于邏輯矛盾、語義矛盾也屬于思想方法上的矛盾。簡(jiǎn)單地說，悖論一般表現(xiàn)為這樣的命題：如果你認(rèn)為它真，則可以推出它為假；如果你認(rèn)為它假，則可以推出它為真[1]。悖論往往以邏輯推理為手段，深入到原理論的基礎(chǔ)之中深刻地揭露出該理論體系中的無法回避的矛盾，

5、所以它的出現(xiàn)必然導(dǎo)致現(xiàn)存理論體系的危機(jī)。1.2數(shù)學(xué)悖論及其引發(fā)的是三次數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)悖論作為悖論的一種，主要產(chǎn)生在數(shù)學(xué)研究中。數(shù)學(xué)悖論，是指在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中既有數(shù)學(xué)規(guī)范中無法解決的認(rèn)識(shí)矛盾，這種認(rèn)識(shí)矛盾能夠在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決。數(shù)學(xué)史上的危機(jī)，指數(shù)學(xué)發(fā)展中危及整個(gè)理論體系的邏輯基礎(chǔ)的根本矛盾。這些矛盾促使數(shù)學(xué)的大發(fā)展，數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)都是由數(shù)學(xué)悖論引起的。1.2.1第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生及其影響希帕索斯悖論導(dǎo)致數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)。公元前

6、5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員希帕索斯發(fā)現(xiàn)等3芝諾說:“運(yùn)動(dòng)沒有真理性運(yùn)動(dòng)者在到達(dá)目標(biāo)以前必須走過空間一半?！币话氲目臻g又有其一半所以運(yùn)動(dòng)者首先又須到達(dá)這一半的一半如此類推以至無窮。這就使得運(yùn)動(dòng)者甚至連動(dòng)都不能動(dòng)。任何人當(dāng)然都可以一言不發(fā)地站起來走來走去用行動(dòng)來宣布運(yùn)動(dòng)是真實(shí)存在。悖論是以空間的無限可分為基礎(chǔ)的。用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)概念來解說則悖論中對(duì)空間“一半一半”地分割如此進(jìn)行下去會(huì)在靠近物體的出發(fā)點(diǎn)處得到一個(gè)以零為極限的“無窮小量”。于是悖

7、論中包含的矛盾可以表述為:一方面我們要求分割得到的無窮小量能夠達(dá)到零好讓運(yùn)動(dòng)從它的起點(diǎn)開始換句話說只有這個(gè)無窮小量最終達(dá)到了零我們才會(huì)認(rèn)為運(yùn)動(dòng)在一瞬間開始時(shí)不是在做“跳躍”(意味著速度無窮大)另一方面我們又要求這個(gè)無窮小量不能達(dá)到零否則無窮多個(gè)零怎么能構(gòu)成有限的長(zhǎng)度這種自相矛盾的境地就是我們承認(rèn)空間無限可分產(chǎn)生的悖論。2.2阿基里斯兩個(gè)物體朝著同一方向運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)運(yùn)動(dòng)得較慢但是走在前面另一個(gè)運(yùn)動(dòng)得較快追趕著前面的物體。芝諾說:“那走得慢

8、的物體永遠(yuǎn)不會(huì)為那走得較快的追趕上?！币?yàn)楫?dāng)?shù)诙€(gè)到達(dá)第一個(gè)的出發(fā)點(diǎn)的時(shí)候第一個(gè)已經(jīng)前進(jìn)了留下一段新的空間這又需要第二個(gè)花費(fèi)一定分時(shí)間才能走過依此類推以至無窮。這個(gè)論證通常被說成是阿基里斯追趕烏龜?shù)馁惻?。這樣就會(huì)出現(xiàn)與第一個(gè)悖論中類似的矛盾:一方面我們要求這個(gè)無窮小量達(dá)到零好讓阿基里斯追上目標(biāo)另一方面我們又要求這個(gè)無窮小量不能為零否則無窮多個(gè)零怎么能夠組成一段時(shí)間呢因此可以從根本上被歸結(jié)為同樣一個(gè)問題:無窮小量到底能不能等于零這也是數(shù)學(xué)

9、史上長(zhǎng)期爭(zhēng)論的的重大基礎(chǔ)理論問題?！耙虼耸紫任覀兦页姓J(rèn)點(diǎn)和瞬間并與這個(gè)較簡(jiǎn)單的或至少熟悉的假設(shè)和聯(lián)系來考察這些問題”[5]。3、芝諾悖論的辨析3.1芝諾二分法悖論的數(shù)學(xué)極限辨析運(yùn)動(dòng)著的物體要到達(dá)終點(diǎn)，首先必須經(jīng)過路途的一半，為此它又必須先走完這一半的一半，以此類推，以至無窮。假如承認(rèn)有運(yùn)動(dòng)，這運(yùn)動(dòng)著的物體連一個(gè)點(diǎn)也不能越過。這個(gè)論證過程可以還原如下：（1）任何運(yùn)動(dòng)都是從一個(gè)地點(diǎn)到達(dá)另外一個(gè)地點(diǎn)；因此，如果證明了不可能從任何一個(gè)地點(diǎn)到達(dá)另

10、外一個(gè)地點(diǎn)，那就證明了不可能有運(yùn)動(dòng)。（2）如果一個(gè)地點(diǎn)與另外一個(gè)地點(diǎn)之間的距離是無窮的，那就不可能從一個(gè)地點(diǎn)到達(dá)另外一個(gè)地點(diǎn)。（3）以上兩點(diǎn)結(jié)合證明，如果任何一個(gè)地點(diǎn)與另外一個(gè)地點(diǎn)之間的距離都是無窮的，那就不可能有運(yùn)動(dòng)。（4）任何兩地點(diǎn)間的距離都總是可以無窮地分解下去，也就是可以分為無窮多個(gè)無窮小的距離，這個(gè)事實(shí)說明，任何一個(gè)地點(diǎn)與另外一個(gè)地點(diǎn)之間的距離都是無窮的。（5）以上兩點(diǎn)結(jié)合，得出最終結(jié)論，運(yùn)動(dòng)總不可能。的確，表面上每一個(gè)步驟都

11、可接受，似乎都是正確的。假若接受了（4），即所有的距離都是“無窮”的，那么“有窮”的距離就不存在了，即根據(jù)我們千百次的反復(fù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Y(jié)而成的常識(shí)，難道任何情況下都不可能走完？而如果走完是可能的，那我們還可能同時(shí)接受（2）么？假如接受了（2），即“無窮”的距離都不可能走完，那么像“半寸”、“一尺”、“兩米”這類有著確定數(shù)量和確定度量單位的距離，我們還能夠真心誠(chéng)意地把它們歸入“無窮”距離這個(gè)范疇中去么？如果不可能歸入，那么我們還可能同時(shí)接受（4