數(shù)學(xué)悖論

1、羅素的“悖論”英國現(xiàn)代數(shù)理學(xué)家、哲學(xué)家羅素，是數(shù)學(xué)中邏輯主義學(xué)派的代表人物。1903年他提出了著名的“悖論”，導(dǎo)致了“集合論”理論的發(fā)展。所謂悖論，是從一些貌似正確的或看來可接受的約定出發(fā)，經(jīng)過簡明正確的推理，卻得到自相矛盾的結(jié)論。例如，對一個命題，如果假定它為真，經(jīng)過無懈可擊的推理，卻推出它為假；但假定它為假，又能推出它為真。這樣的命題就是一個悖論。下面是羅素提出的一個命題：某理發(fā)師規(guī)定：他只給那些自己不給自己刮臉的人刮臉。這個理發(fā)師

2、該不該給自己刮臉呢？很顯然，如果這個理發(fā)師給自己刮臉，那么按規(guī)定他就不該給自己刮臉；同時，如果他不給自己刮臉，那么按規(guī)定他又應(yīng)該給自己刮臉。多尷尬的理發(fā)師！這樣自相矛盾的命題就是悖論。聰明的讀者，請你分析下面的一句話：安第斯山人迪皮克說：“所有安第斯山人說的話都是謊話?！蹦隳芡瞥鲞@句話中的悖論嗎6參考答案：如果這句是真話，由于迪皮克是安第斯山人，他也是說謊者，因此這句話是謊話。如果這句話是謊話，那么安第斯山人不都是說謊者，可是他的話說明

3、是在說謊，因此是句真話。摘要：本文主要通過數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)的產(chǎn)生與消除，針對它們的本質(zhì)淺談自己的認(rèn)識，摘要：本文主要通過數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)的產(chǎn)生與消除，針對它們的本質(zhì)淺談自己的認(rèn)識，實(shí)際導(dǎo)致這三次危機(jī)原因在與人的認(rèn)識。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對萬物皆數(shù)的誤解，隨著實(shí)際導(dǎo)致這三次危機(jī)原因在與人的認(rèn)識。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對萬物皆數(shù)的誤解，隨著無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，把第一次數(shù)學(xué)危機(jī)度過了。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對無窮小的誤解，微積無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，把第一次

4、數(shù)學(xué)危機(jī)度過了。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對無窮小的誤解，微積分的出現(xiàn)產(chǎn)生了一種新的方法，即分析方法，分析方法是算和證的結(jié)合。是通過無窮趨近分的出現(xiàn)產(chǎn)生了一種新的方法，即分析方法，分析方法是算和證的結(jié)合。是通過無窮趨近而確定某一結(jié)果。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，給數(shù)學(xué)界以極大的震動，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第三次危而確定某一結(jié)果。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，給數(shù)學(xué)界以極大的震動，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。為了探求其根源和解決難題的途徑，在數(shù)學(xué)界機(jī)。為了探求其根源和解決難題

5、的途徑，在數(shù)學(xué)界邏輯界進(jìn)行了不懈的探討，提出了一系邏輯界進(jìn)行了不懈的探討，提出了一系列解決方案，并在不知不覺中大大推動了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展。列解決方案，并在不知不覺中大大推動了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展。關(guān)鍵詞：危機(jī)；萬物皆數(shù)；無窮??；分析方法；集合關(guān)鍵詞：危機(jī)；萬物皆數(shù)；無窮?。环治龇椒?；集合一、前言一、前言數(shù)學(xué)常常被人們認(rèn)為是自然科學(xué)中發(fā)展得最完善的一門學(xué)科，但在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，卻經(jīng)數(shù)學(xué)常常被人們認(rèn)為是自然科學(xué)中發(fā)展得最完善的一門學(xué)科，但在

6、數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，卻經(jīng)歷了三次危機(jī)，人們?yōu)榱耸箶?shù)學(xué)向前發(fā)展，從而引入一些新的東西使問題化解，在第一次歷了三次危機(jī)，人們?yōu)榱耸箶?shù)學(xué)向前發(fā)展，從而引入一些新的東西使問題化解，在第一次危機(jī)中導(dǎo)致無理數(shù)的產(chǎn)生；第二次危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)微積分誕生后，無窮小量的刻畫問危機(jī)中導(dǎo)致無理數(shù)的產(chǎn)生；第二次危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)微積分誕生后，無窮小量的刻畫問題，最后是柯西解決了這個問題；第三次危機(jī)發(fā)生在題，最后是柯西解決了這個問題；第三次危機(jī)發(fā)生在1919世紀(jì)末，

7、羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學(xué)世紀(jì)末，羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學(xué)界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數(shù)學(xué)危機(jī)。本文界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來緩解數(shù)學(xué)危機(jī)。本文回顧了數(shù)學(xué)上三次危機(jī)的產(chǎn)與發(fā)展，并給出了自己對這三次危機(jī)的看法，最后得出確定性回顧了數(shù)學(xué)上三次危機(jī)的產(chǎn)與發(fā)展，并給出了自己對這三次危機(jī)的看法，最后得出確定性喪失的結(jié)論。喪失的結(jié)論。二、數(shù)學(xué)史上的第一次二、數(shù)學(xué)史上的第一次“危機(jī)危機(jī)”

8、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是發(fā)生在公元前第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是發(fā)生在公元前580580～568568年之間的古希臘。那時的數(shù)學(xué)正值昌盛，忒被是年之間的古希臘。那時的數(shù)學(xué)正值昌盛，忒被是以畢達(dá)哥拉斯為代表的畢氏學(xué)派對數(shù)的認(rèn)識進(jìn)行了研究，他們認(rèn)為以畢達(dá)哥拉斯為代表的畢氏學(xué)派對數(shù)的認(rèn)識進(jìn)行了研究，他們認(rèn)為“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”。所謂數(shù)。所謂數(shù)就是指整數(shù)，他們確定數(shù)的目的是企圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理，信條是：就是指整數(shù)，他們確定數(shù)的目的是企圖通過揭示

9、數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理，信條是：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，即世界上只存在整數(shù)與分?jǐn)?shù)，除此之外他宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，即世界上只存在整數(shù)與分?jǐn)?shù)，除此之外他們不認(rèn)識也不承認(rèn)別的數(shù)。在那個時期，上述思想是絕對權(quán)威、是們不認(rèn)識也不承認(rèn)別的數(shù)。在那個時期，上述思想是絕對權(quán)威、是“真理真理”。但是不久人。但是不久人們發(fā)現(xiàn)即使邊長為們發(fā)現(xiàn)即使邊長為1的正方形對角線不是可比數(shù)。這樣畢達(dá)哥拉斯的正方形對角線不是可

10、比數(shù)。這樣畢達(dá)哥拉斯“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”是不成立是不成立的，絕對的權(quán)威受到了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)：一方面證明單位正方形對角線的長不是整數(shù)分?jǐn)?shù)，按的，絕對的權(quán)威受到了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)：一方面證明單位正方形對角線的長不是整數(shù)分?jǐn)?shù)，按照他們的觀點(diǎn)，這種長度不是數(shù)！另一方面，他們不承認(rèn)自己的觀點(diǎn)有問題，這就陷入了照他們的觀點(diǎn)，這種長度不是數(shù)！另一方面，他們不承認(rèn)自己的觀點(diǎn)有問題，這就陷入了極大的矛盾之中，這是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。極大的矛盾之中，這是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

11、三、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)三、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。其實(shí)我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料，阿基題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。其實(shí)我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料，阿基米德的逼近法實(shí)際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素，直到很多年后，牛頓和萊布尼茲米德的逼近法實(shí)

12、際上已經(jīng)掌握了無限小分析的基本要素，直到很多年后，牛頓和萊布尼茲集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其

13、深刻地影響了整個數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這

14、樣的人刮臉。當(dāng)人們試圖回答下列疑問時，就認(rèn)識到了這種情況的悖論性質(zhì)：“理發(fā)師是否自己給自己刮臉？“如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。羅素悖論使整個數(shù)學(xué)大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第２卷末尾寫道：“一位科學(xué)家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地“。于是終結(jié)了

15、近12年的刻苦鉆研。承認(rèn)無窮集合，承認(rèn)無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在19021902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學(xué)界，號稱天衣無縫，絕對年

16、，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學(xué)界，號稱天衣無縫，絕對正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。羅素在該悖論中所定義的集合正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者，被幾乎所有集合論研究者都認(rèn)為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實(shí)雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是都認(rèn)為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實(shí)雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于由于R是集合，若是集合，若R含有自身作為元素，就有含有自身作為元素，就有R

17、R，那么從集合的角度就有，那么從集合的角度就有RR。一個集合。一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因?yàn)榧纫姘约?，這樣的集合顯然是不存在的。因?yàn)榧纫猂有異于有異于R的元素，又要的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循RR的基本原則，否則就是不合的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切法的集合。這樣看來，羅素悖論中所

18、定義的一切RR的集合，就應(yīng)該是一切合法集合的集的集合，就應(yīng)該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結(jié)底，事物。歸根結(jié)底，R也就是包含一切集合的也就是包含一切集合的“最大的集合最大的集合”了。因此可以明確了，實(shí)質(zhì)上，了。因此可以明確了，實(shí)質(zhì)上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。羅素悖

19、論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。(2)(2)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決羅素的悖論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們就開始為這場危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建羅素的悖論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家們就開始為這場危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進(jìn)行這個工作的是德國數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條立在一組公理之上，以回避悖論。首先進(jìn)行這個工作的是德國數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論

20、，又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過德國的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂ZFZF公理系統(tǒng)），這場數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來。公理系統(tǒng)），這場數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來?，F(xiàn)在，我們通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，知道集合論主要分為現(xiàn)在，我們通過離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，知道集合論主要分為CantCant集合論和集合論和AxiomaticAxiom

21、atic集合論，集合論，集合是先定義了全集集合是先定義了全集I，空集，在經(jīng)過一系列一元和二元運(yùn)算而得來的。而在七條公理上，空集，在經(jīng)過一系列一元和二元運(yùn)算而得來的。而在七條公理上建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以發(fā)展。三次數(shù)學(xué)危機(jī)是我們數(shù)學(xué)建立起來的集合論系統(tǒng)避開了羅素悖論，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以發(fā)展。三次數(shù)學(xué)危機(jī)是我們數(shù)學(xué)史發(fā)展中的一個奠基，他為我們?nèi)蘸蟾敿?xì)、深入的研究數(shù)學(xué)做了很好的鋪墊，我我想以史發(fā)展中的一個奠基，他為我們