飛行器流動仿真講稿第2章-流體力學(xué)控制方程組

1、2013年6月,飛行器流動仿真,Computational Fluid DynamicsThe Basics with Applications,第2章 流體力學(xué)控制方程組,第2.1節(jié) 控制方程組的積分形式第2.2節(jié) 控制方程組的微分形式第2.3節(jié) 控制方程組的非守恒形式第2.4節(jié) 守恒形式控制方程組的矩陣表達(dá)第2.5節(jié) Euler方程組第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件第2.7節(jié) 不同形式控制方程組的區(qū)別

2、與選用,第2章 流體力學(xué)控制方程組,確定流體系統(tǒng)的三個量：質(zhì)量、動量、能量；一個系統(tǒng)在所有時間的整個過程中，其質(zhì)量、動量和能量都是守恒的，這三個定律已完全定義了系統(tǒng)的全部行為，而不需要任何其它的力學(xué)定律；基本假設(shè)：慣性直角坐標(biāo)系內(nèi)黏性可壓縮牛頓流體三維非定常的流動；對流場中的控制體運用物理守恒定律（通過雷諾輸運定理）可以得到控制流體流動的控制方程組——Navier-Stokes方程組（有時單指動量方程），簡稱N-S方程組；如果不

3、考慮流體的黏性，則稱控制方程組為Euler方程組（有時單指動量方程）。,第2.1節(jié) 控制方程組的積分形式,物理守恒定律：對確定的控制體，流體的質(zhì)量、動量和能量都是守恒的；積分形式控制方程組是物理守恒定律在數(shù)學(xué)上的直接表達(dá)。,第2章 流體力學(xué)控制方程組,一、連續(xù)方程——質(zhì)量守恒定律,,連續(xù)方程對流體性質(zhì)沒有任何限制，適用于任何流體。,控制體內(nèi)質(zhì)量隨時間的變化,當(dāng)?shù)刈兓?,,穿越控制體表面（控制面）的凈的質(zhì)量通量,遷移變化率,,,第2.

4、1節(jié) 控制方程組的積分形式,二、動量方程——動量守恒定律,,控制體內(nèi)動量隨時間的變化,當(dāng)?shù)刈兓?,穿越控制體表面（控制面）的凈的動量通量,遷移變化率,,,,,,質(zhì)量力,壓強合力,,黏性應(yīng)力,,,表面力,第2.1節(jié) 控制方程組的積分形式,二、動量方程——動量守恒定律,,,動量方程的具體形式取決于黏性應(yīng)力的表達(dá)式；對牛頓流體，黏性應(yīng)力有三個正應(yīng)力和六個對稱的切應(yīng)力,,,,,,,斯托克斯假設(shè),分子黏性系數(shù),第二黏性系數(shù),,第2.1節(jié) 控

5、制方程組的積分形式,三、能量方程——熱力學(xué)第一定律,,,,,,,,,,,,,,,控制體內(nèi)總能量隨時間的變化,當(dāng)?shù)刈兓?,穿越控制體表面（控制面）的凈的總能量通量,遷移變化率,,,熱傳導(dǎo)熱量,體積加熱,壓強功率,,,,,黏性應(yīng)力功率,,質(zhì)量力功率,,第2.1節(jié) 控制方程組的積分形式,三、能量方程——熱力學(xué)第一定律,,,,,,,,,總能量,,,,,,,內(nèi)能,除熱傳導(dǎo)外其它熱源（如輻射、化學(xué)反應(yīng)等）單位時間內(nèi)傳給流體的熱量,普朗特數(shù),熱傳

6、導(dǎo)系數(shù),試驗確定的熱擴散系數(shù),第2.1節(jié) 控制方程組的積分形式,第2章 流體力學(xué)控制方程組,第2.2節(jié) 控制方程組的微分形式,控制體大小、形狀和空間位置均不隨時間變化→時間偏導(dǎo)數(shù)可以放在積分號內(nèi)；對不存在間斷（激波、接觸間斷、渦街或滑移線）的流動，利用散度定理將面積積分改寫成體積積分→得到全部用體積積分表示的控制方程組；全部用體積積分表示的控制方程組對任意控制體都成立→方程兩端被積函數(shù)必然相等的→可得微分形式的控制方程組。,一、連續(xù)

7、方程,,第2.2節(jié) 控制方程組的微分形式,,,,,,,,,,,,,,,展開,,連續(xù)方程適用于任何流體。,二、動量方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x方向：,y方向：,z方向：,第2.2節(jié) 控制方程組的微分形式,二、動量方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x方向：,y方向：,z方向：,,,,第2.2節(jié) 控制方程組的微分形式,代入黏性應(yīng)力表達(dá)式，有,三、能量方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,右端散度項展開,第

8、2.2節(jié) 控制方程組的微分形式,三、能量方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,代入黏性應(yīng)力表達(dá)式→方程更復(fù)雜；可以改寫成用內(nèi)能e表示的形式,,黏性項是流體克服黏性消耗的機械能→不可逆地轉(zhuǎn)化成熱量耗散，是耗散項→不可逆熱源。,第2.2節(jié) 控制方程組的微分形式,第2.3節(jié) 控制方程組的非守恒形式,積分形式的控制方程組是以數(shù)學(xué)形式表達(dá)的物理守恒定律，本身就是守恒的； 以上給出的微分形式的控制方程組都是直接從積分形式控制方程組推導(dǎo)

9、出來的→稱為守恒形式控制方程組； 直觀上理解，所謂守恒形式控制方程組是指其變量均出現(xiàn)在偏微分符號之內(nèi)；將守恒形式控制方程組各項展開，通過化簡（包括使用連續(xù)方程）可得到非守恒形式控制方程組。,第2章 流體力學(xué)控制方程組,一、連續(xù)方程,,第2.3節(jié) 控制方程組的非守恒形式,,,,,,,,,,,,,,,,展開連續(xù)方程，寫成,,,,密度物質(zhì)導(dǎo)數(shù),時間全導(dǎo)數(shù)（時間變化率）,當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)（當(dāng)?shù)刈兓剩?=,遷移導(dǎo)數(shù)（遷移變化率）,+,,,教

10、材p28第2.3節(jié),二、動量方程,,,,,,,,,,,,,,,,,與守恒形式動量方程相比，非守恒形式與其區(qū)別僅為方程左端不同→運用連續(xù)方程的結(jié)果。,,,,,,第2.3節(jié) 控制方程組的非守恒形式,三、能量方程,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,第2.3節(jié) 控制方程組的非守恒形式,三、能量方程,,,,,,,,,,,,,,,,,與守恒形式相比，非守恒形式僅方程左端不同→運用連續(xù)方程的結(jié)果。,,,,,,,,內(nèi)能形式,第2.3節(jié) 控制方

11、程組的非守恒形式,第2.4節(jié) 守恒形式控制方程組的矩陣表達(dá),將守恒形式的控制方程組寫成矩陣的形式，可以方便CFD的求解。,一、積分形式,將積分形式控制方程組包含的方程組合，有,,式中，U為流動變量，F(xiàn)、G和H為通量，J為源項；Ω和S分別為控制體積和控制面積；,第2章 流體力學(xué)控制方程組,,第2.4節(jié) 守恒形式控制方程組的矩陣表達(dá),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一、積分形式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

12、,,,,,,,,第2.4節(jié) 守恒形式控制方程組的矩陣表達(dá),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、微分形式,將微分形式控制方程組包含的方程組合，有,,第2.4節(jié) 守恒形式控制方程組的矩陣表達(dá),第2.5節(jié) Euler方程組,歐拉方程組是描述無黏流的最高級或最完整的方程組，忽略了耗散、黏性輸運、質(zhì)量擴散以及熱傳導(dǎo)，其解是N-S方程組當(dāng)黏性系數(shù)趨于零時的極限；歐拉方程組描述了N-S方程組的對流性質(zhì)。在高雷諾數(shù)下，N-S方

13、程組由對流控制，這也是大多數(shù)工程與自然界中的流動情形；將控制方程組中的黏性項和熱傳導(dǎo)項去掉，就可以得到Euler方程組。,,第2章 流體力學(xué)控制方程組,一、守恒形式,,第2.5節(jié) Euler方程組,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,矩陣形式,,,,,,,第2.5節(jié) Euler方程組,二、非守恒形式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,第2.5節(jié) Euler方程

14、組,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件,觀察以上方程組可以發(fā)現(xiàn)，未知量共有七個，即ρ、u、v、w、e、p和T；方程組只有五個方程→方程組不封閉；,,一、方程組的封閉,第2章 流體力學(xué)控制方程組,,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一、方程組的封閉,必須補充熱狀態(tài)方程和量熱狀態(tài)方程使方程組封閉,熱狀態(tài)方程,量熱狀態(tài)方程,,,,理想氣體,,,,,,

15、關(guān)于流體性質(zhì)μ和k的定義,通常隨溫度變化,Sutherland公式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一、方程組的封閉,關(guān)于熱源（電的、機械的、或化學(xué)的）的定義；對于湍流流動，使用雷諾平均方程組計算時，還需要補充湍流模型；對于含化學(xué)反應(yīng)的流動，應(yīng)補充反應(yīng)機理與化學(xué)反應(yīng)方程以及組分方程；對兩相和多相流動，應(yīng)補充固相和液相的運動方程以及相間作用。,,,,,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件,,,

16、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、物理邊界條件,流動之所以千變?nèi)f化，是因為邊界條件（有時也包括初始條件）不同，而控制流體不同流動的方程組都是相同的；獲得流體與物體之間的相互作用是CFD的主要目的之一→最重要的物理邊界條件是物體壁面（固壁）上的條件；其他邊界，如管流進出口邊界、繞流問題的周圍邊界等都是由計算需要劃定的，在這些邊界上需要根據(jù)具體的流動問題給出合適的邊界條件。,,,,,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的

17、封閉與物理邊界條件,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、物理邊界條件,黏性流體為無滑移邊界條件，即物面上的速度,,,,,1. 黏性流的固壁條件,物面上的溫度可以有三種形式。,,最簡單的情況是給定物面溫度Tw，則物面條件為,,與物面直接接觸的流體的溫度,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1. 黏性流的固壁條件,,給定流體與物面之間熱流

18、密度。根據(jù)傅里葉導(dǎo)熱定律，在物面上有,,,物面法向,物面溫度以梯度形式給出,,,,求解材料內(nèi)導(dǎo)熱,求解流動,,,,,材料導(dǎo)熱計算與流場計算耦合,流-固耦合問題,,,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1. 黏性流的固壁條件,,絕熱壁面：流體與物面之間沒有熱量傳遞，即,,,物面上的傳熱達(dá)到平衡,,,固壁溫度Taw稱為絕熱壁面溫度,,流場解的一部分,,,物面上

19、的壓強和密度：,流場解的一部分,,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 無黏流的固壁條件,,,,,,無滲透物面上唯一的邊界條件是要求流體的流動速度必須與物面相切，稱為滑移邊界條件，即,,物面上的密度、壓強、溫度等流動參數(shù)則是解的一部分。,二、物理邊界條件,第2.6節(jié) 流體力學(xué)控制方程組的封閉與物理邊界條件,第2.7節(jié) 不同形式控制方程組的區(qū)別與選用,積分

20、形式是物理守恒定律應(yīng)用于流體流動時的數(shù)學(xué)表示，是最基本的控制方程組；積分方程組不要求流動參數(shù)連續(xù)，對包含激波等間斷的流動仍然適用。當(dāng)確信流場中有激波時，最好使用積分形式的控制方程組；使用積分形式的控制方程組計算時，采用有限體積離散方法。,,一、積分與微分形式控制方程組,第2章 流體力學(xué)控制方程組,,第2.7節(jié) 不同形式控制方程組的區(qū)別與選用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、流動變量選擇與守恒形式控制方程組的

21、意義,觀察守恒和非守恒形式控制方程組，可以發(fā)現(xiàn)兩者使用的流動變量有區(qū)別；守恒形式控制方程組使用守恒變量，即（2-94）式定義定義的U，包括：,,,,,守恒變量,密度,x動量,y動量,z動量,總能量,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、流動變量選擇與守恒形式控制方程組的意義,非守恒形式控制方程組使用原始變量,,,,,原始變量,密度,x速度,y速度,z速度,壓強,,,,,,,,原始變量更自然方便，在實驗

22、中可以直接測量或控制。在計算中，用這樣的變量賦邊界條件較直接和方便。,非守恒控制方程組是從守恒控制方程組嚴(yán)格推導(dǎo)出來的，兩者在數(shù)學(xué)上完全等價→理論流體力學(xué)從未注意過，區(qū)分兩者的差別完全是從CFD開始的；,第2.7節(jié) 不同形式控制方程組的區(qū)別與選用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、流動變量選擇與守恒形式控制方程組的意義,CFD之所以要區(qū)分控制方程組形式的守恒與否，是因為兩者在數(shù)值計算中不等價，并且守恒方程組對計

23、算而言具有特別的意義：,,,,,,,,,,守恒方程組是物理守恒定律的自然表達(dá)，在數(shù)學(xué)上清晰表明了守恒變量的守恒性質(zhì)，并在數(shù)值離散時仍能保持這種守恒性質(zhì)。而非守恒方程組不是物理守恒定律的直接表達(dá)，無法得到守恒離散→離散后不能嚴(yán)格守恒，只有當(dāng)離散點無窮多時才趨向于守恒；,第2.7節(jié) 不同形式控制方程組的區(qū)別與選用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、流動變量選擇與守恒形式控制方程組的意義,,,,,,,,,,正是這種差

24、別，在計算包含激波等間斷的流場時，守恒方程通常能自動捕捉到光滑、穩(wěn)定的激波→激波捕捉法；而非守恒方程捕捉到的激波上游、下游或上下游都有振蕩（抖動），激波也可能出現(xiàn)在錯誤的位置上，甚至計算不穩(wěn)定。原因是，跨過激波時守恒變量連續(xù)，而原始變量則存在著間斷（參見教材p63-p64以靜止激波為例給出的解釋）。解決的方法是使用激波裝配法，而對于包含很多激波的復(fù)雜流場來說，這很困難；使用守恒變量得到的守恒控制方程組（2-93）對連續(xù)方程、動量方程和