流體力學(xué)ns方程推導(dǎo)過(guò)程

1、流體力學(xué)流體力學(xué)NS方程簡(jiǎn)易推導(dǎo)過(guò)程方程簡(jiǎn)易推導(dǎo)過(guò)程小菜鳥(niǎo)0引言引言流體力學(xué)的NS方程對(duì)于整個(gè)流體力學(xué)以及空氣動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域的作用非常顯著，不過(guò)其公式繁瑣，推導(dǎo)思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導(dǎo)，記錄一下整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程，供自己學(xué)習(xí)，也可以供大家交流和學(xué)習(xí)。1基本假設(shè)基本假設(shè)空氣是由大量分子組成，分子做著無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，我們可以想象，隨著觀察尺度的逐漸降低，微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況相同，其物理量存在間

2、斷的現(xiàn)象，例如我們?cè)诳臻g中取出一塊控制體，當(dāng)控制體中存在分子時(shí)，該控制體的密度等量較大，不存在時(shí)就會(huì)為0，這在微觀尺度下是常見(jiàn)。不過(guò)隨著觀察尺度增加，在宏觀情況下，控制體積內(nèi)包含大量分子，控制體積的壓力密度溫度速度等物理量存在統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，這個(gè)結(jié)果是穩(wěn)定的，例如流場(chǎng)變量的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態(tài)方程。自然界中宏觀情況的流體運(yùn)動(dòng)畢竟占據(jù)大多數(shù)，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運(yùn)動(dòng)，采用稍微專業(yè)一點(diǎn)難度術(shù)語(yǔ)是流體滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。連

3、續(xù)介質(zhì)假設(shè)的意思就是說(shuō)，我們?cè)诹鲌?chǎng)中隨意取出流體微團(tuán)，這個(gè)流體微團(tuán)在宏觀上是無(wú)窮小的，因此整個(gè)流場(chǎng)的物理量可以進(jìn)行數(shù)學(xué)上的極限微分積分等運(yùn)算；同時(shí)，這個(gè)流體微團(tuán)在微觀上是無(wú)窮大的，微團(tuán)中包含了大量分子，以至于可以進(jìn)行分子層面的統(tǒng)計(jì)平均，獲得我們通常見(jiàn)到的流場(chǎng)變量。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立需要滿足：所研究流體問(wèn)題的最小空間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分子平均運(yùn)動(dòng)自由程（標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級(jí)，具體值可以參考分子運(yùn)動(dòng)理論），這在大多數(shù)宏

4、觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛采用的基礎(chǔ)，即使在湍流中，也是成立的，因此才保證NS方程也適用于描述湍流。有些情況下連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風(fēng)速儀的金屬絲，直徑通常在1~5微米量級(jí)，最小流體微團(tuán)已經(jīng)接近分子平均運(yùn)動(dòng)自由程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不能直接使用，類似情況還包括激??=0vt????????根據(jù)引論1中微元體的隨體導(dǎo)數(shù)關(guān)系可以得到：=0DvDt??????或者1=DvDt?????（2）

5、張量表達(dá)形式：()=0jjutx???????3動(dòng)量方程：牛頓第二定律的流體表達(dá)動(dòng)量方程：牛頓第二定律的流體表達(dá)根據(jù)牛頓第二定律，流場(chǎng)中取出控制體滿足如下規(guī)律：某一時(shí)刻，控制體中所有流體微團(tuán)的總動(dòng)量隨時(shí)間的變化率=控制體中所有流體微團(tuán)受到的合力?？刂企w受力主要包括表面力和體積力，表面力作用于物體表面，例如壓力等應(yīng)力，表面力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓力，切向力通常為粘性力（當(dāng)然這不是絕對(duì)，因?yàn)榉ㄏ蛄€包括流場(chǎng)可壓縮性引起的法

6、向應(yīng)力）；體積力作用于流場(chǎng)中每一個(gè)流體微團(tuán)，例如重力，電磁力等。因此，牛頓第二定律可以表達(dá)為：控制體總動(dòng)量隨時(shí)間變化率=控制體表面力合力控制體體積力合力（為了推導(dǎo)方便，下面將體積力忽略，在重力等法向力影響較大時(shí)，將該項(xiàng)加入即可）。利用流場(chǎng)變量可以將上述定律表達(dá)為數(shù)學(xué)公式：tVSSDvdVpndSndSD????????????????其中根據(jù)引論1和引論2，可知方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，????tt=VVSVDvvLdVdVvvn