數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1

1、第一章 緒論,§1－1　什么是數(shù)理統(tǒng)計(jì)§1－2　數(shù)理統(tǒng)計(jì)幾個(gè)基本概念§1－3　抽樣分布,學(xué)習(xí)目標(biāo),1. 理解數(shù)理統(tǒng)計(jì)的涵義2. 理解了解統(tǒng)計(jì)研究對(duì)象的特點(diǎn)3. 了解統(tǒng)計(jì)研究的基本環(huán)節(jié)4. 了解統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程5. 重點(diǎn)掌握數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念與抽樣分布,,§1－1　什么是數(shù)理統(tǒng)計(jì),一、統(tǒng)計(jì)（Statistics)的涵義　我們先從數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)開(kāi)始，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究收集數(shù)據(jù)

2、、分析數(shù)據(jù)并據(jù)以對(duì)所研究的問(wèn)題作出一定的結(jié)論的科學(xué)和藝術(shù)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)所考察的數(shù)據(jù)都帶有隨機(jī)性（偶然性）的誤差。這給根據(jù)這種數(shù)據(jù)所作出的結(jié)論帶來(lái)了一種不確定性，其量化要借助于概率論的概念和方法。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率論這兩個(gè)學(xué)科的密切聯(lián)系，正是基于這一點(diǎn)。 Statistics: the science of collecting, analyzing, presenting, and interpreting data. （不列顛百科全書(shū)）

3、,統(tǒng)計(jì)學(xué)起源于收集數(shù)據(jù)的活動(dòng)，小至個(gè)人的事情，大至治理一個(gè)國(guó)家，都有必要收集種種有關(guān)的數(shù)據(jù)，如在我國(guó)古代典籍中，就有不少關(guān)于戶(hù)口、錢(qián)糧、兵役、地震、水災(zāi)和旱災(zāi)等等的記載?，F(xiàn)今各國(guó)都設(shè)有統(tǒng)計(jì)局或相當(dāng)?shù)臋C(jī)構(gòu)。當(dāng)然，單是收集、記錄數(shù)據(jù)這種活動(dòng)本身并不能等同于統(tǒng)計(jì)學(xué)這門(mén)科學(xué)的建立，需要對(duì)收集來(lái)的數(shù)據(jù)進(jìn)行排比、整理，用精煉和醒目的形式表達(dá)，在這個(gè)基礎(chǔ)上對(duì)所研究的事物進(jìn)行定量或定性估計(jì)、描述和解釋?zhuān)㈩A(yù)測(cè)其在未來(lái)可能的發(fā)展?fàn)顩r。例如

4、根據(jù)人口普查或抽樣調(diào)查的資料對(duì)我國(guó)人口狀況進(jìn)行描述，根據(jù)適當(dāng)?shù)某闃诱{(diào)查結(jié)果，對(duì)受教育年限與收入的關(guān)系，對(duì)某種生活習(xí)慣與嗜好（如吸煙）與健康的關(guān)系作定量的評(píng)估。根據(jù)以往一般時(shí)間某項(xiàng)或某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化情況，預(yù)測(cè)其在未來(lái)一般時(shí)間的走向等，做這些事情的理論與方法，才能構(gòu)成一門(mén)學(xué)問(wèn)——數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容。,這樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)始于何時(shí)？恐怕難于找到一個(gè)明顯的、大家公認(rèn)的起點(diǎn)。一種受到某些著名學(xué)者支持的觀點(diǎn)認(rèn)為，英國(guó)學(xué)者葛朗特在1662年發(fā)

5、表的著作《關(guān)于死亡公報(bào)的自然和政治觀察》，標(biāo)志著這門(mén)學(xué)科的誕生。中世紀(jì)歐洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，倫敦教會(huì)每周發(fā)表一次“死亡公報(bào)”，記錄該周內(nèi)死亡的人的姓名、年齡、性別、死因。以后還包括該周的出生情況——依據(jù)受洗的人的名單，這基本上可以反映出生的情況。幾十年來(lái)，積累了很多資料，葛朗特是第一個(gè)對(duì)這一龐大的資料加以整理和利用的人，他原是一個(gè)小店主的兒子，后來(lái)子承父業(yè)，靠自學(xué)成才。他因這一部著作被選入當(dāng)年

6、成立的英國(guó)皇家學(xué)會(huì)，反映學(xué)術(shù)界對(duì)他這一著作的承認(rèn)和重視。,圖1英國(guó)約克大學(xué)葛朗特,圖2  帕齊利,這是一本篇幅很小的著作，主要內(nèi)容為8個(gè)表，從今天的觀點(diǎn)看，這只是一種例行的數(shù)據(jù)整理工作，但在當(dāng)時(shí)則是有原創(chuàng)性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某種程度上可以說(shuō)沿用至今，如數(shù)據(jù)簡(jiǎn)約（大量的、雜亂無(wú)章的數(shù)據(jù)，須注過(guò)整理、約化，才能突出其中所包含的信息）、頻率穩(wěn)定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在較長(zhǎng)時(shí)期中有一個(gè)基本穩(wěn)定的比率

7、，這是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)性推斷的基礎(chǔ)）、數(shù)據(jù)糾錯(cuò)、生命表（反映人群中壽命分布的情況，至今仍是保險(xiǎn)與精算的基礎(chǔ)概念）等。,葛朗特的方法被他同時(shí)代的政治經(jīng)濟(jì)學(xué)家佩蒂引進(jìn)到社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的研究中，他提倡在這類(lèi)問(wèn)題的研究中不能尚空談，要讓實(shí)際數(shù)據(jù)說(shuō)話，他的工作總結(jié)在他去世后于1690年出版的《政治算術(shù)》一書(shū)中。,圖4：高斯,當(dāng)然，也應(yīng)當(dāng)指出，他們的工作還停留在描述性的階，不是現(xiàn)代意義下的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，那時(shí)，概率論尚處在萌芽的階段，不足以給數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)

8、展提供充分的理論支持，但不能由此否定他們工作的重大意義，作為現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的幾個(gè)源頭之一，他們以及后續(xù)學(xué)者在人口、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的工作，特別是比利時(shí)天文學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家凱特勒19世紀(jì)的工作，對(duì)促成現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的誕生起了很大的作用。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的另一個(gè)重要源頭來(lái)自天文和測(cè)地學(xué)中的誤差分析問(wèn)題。早期，測(cè)量工具的精度不高，人們希望通過(guò)多次量測(cè)獲取更多的數(shù)據(jù)，以便得到對(duì)量測(cè)對(duì)象的精度更,圖3 拉普拉斯,高的估計(jì)值。量測(cè)誤差有隨機(jī)性，

9、適合于用概率論即統(tǒng)計(jì)的方法處理，遠(yuǎn)至伽利略就做過(guò)這方面的工作，他對(duì)測(cè)量誤差的性態(tài)作了一般性的描述，法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的研究，現(xiàn)今概率論中著名的“拉普拉斯分布”，即是他在這研究中的一個(gè)產(chǎn)物，這方面最著名且影響深遠(yuǎn)的研究成果有二：一是法國(guó)數(shù)學(xué)家兼天文家勒讓德19世紀(jì)初（1805）在研究慧星軌道計(jì)算時(shí)發(fā)明的“最小二乘法”，他在估計(jì)過(guò)巴黎的子午線長(zhǎng)這一工作中，曾使用這個(gè)方法?，F(xiàn)今著作中把這一方法的發(fā)明歸

10、功于高斯，但高斯使用這一方法最早見(jiàn)諸文字是1809年，比勒讓德晚。一種現(xiàn)在逐步取得公認(rèn)——這項(xiàng)發(fā)明系由二人獨(dú)立做出，看來(lái)使比較妥當(dāng)?shù)?。另外一個(gè)重要成果是德國(guó)大學(xué)者高斯1809年在研究行星繞日運(yùn)動(dòng)時(shí)提出用正態(tài)分布刻畫(huà)測(cè)量誤差的分布。正態(tài)分布也常稱(chēng)為高斯分布，其曲線是鐘形，極象頤和園中玉帶橋那樣的形狀，故有時(shí)又稱(chēng)為“鐘形曲線”，它反映了這樣一種極普通的情況：天下形,圖4：高斯,圖5：連續(xù)型隨機(jī)變量,天下形形色色的事物中，“兩頭

11、小，中間大”的居多，如人的身高，太高太矮的都不多，而居于中間者占多數(shù)——當(dāng)然，這只是一個(gè)極粗略的描述，要作出準(zhǔn)確的描述，須動(dòng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)。正是其數(shù)學(xué)上的特性成為其廣泛應(yīng)用的根據(jù)。,正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有極重要的地位，現(xiàn)今仍在常用的許多統(tǒng)計(jì)方法，就是建立在“所研究的量具有或近似地具有正態(tài)分布”這個(gè)假定的基礎(chǔ)上，而經(jīng)驗(yàn)和理論（概率論中所謂“中心極限定理”）都表明這個(gè)假定的現(xiàn)實(shí)性，現(xiàn)實(shí)世界許多現(xiàn)象看來(lái)是雜亂無(wú)章的，如

12、不同的人有不同的身高、體重。大批生產(chǎn)的產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)各有差異 ?？磥?lái)毫無(wú)規(guī)則，但它們?cè)诳傮w上服從正態(tài)分布。這一點(diǎn)，顯示在紛亂中有一種秩序存在，提出正態(tài)分布的高斯，一生在多個(gè)領(lǐng)域里面有不少重大的貢獻(xiàn)，但在德國(guó)10馬克的有高斯圖像的鈔票上，單只畫(huà)出了正態(tài)曲線，以此可以看出人們對(duì)他這一貢獻(xiàn)評(píng)價(jià)之高。,,20世紀(jì)以前數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要成果，是19世紀(jì)后期由英國(guó)遺傳學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓發(fā)起，并經(jīng)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人之一K&#

13、183;皮爾遜和其他一些英國(guó)學(xué)者所發(fā)展的統(tǒng)計(jì)相關(guān)與回歸理論。所謂統(tǒng)計(jì)相關(guān)，是指一種非決定性的關(guān)系如人的身高X與體重Y，存在一種大致的關(guān)系，表現(xiàn)在X大（?。r(shí)，Y也傾向于大（?。?，但非決定性的：由X并不能決定Y?，F(xiàn)實(shí)生活中和各種科技領(lǐng)域中，這種例子很多，如受教育年限與收入的關(guān)系，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與人口增長(zhǎng)速度的關(guān)系等，都是屬于這種性質(zhì)，統(tǒng)計(jì)相關(guān)的理論把這種關(guān)系的程度加以量化，而統(tǒng)計(jì)回歸則是把有統(tǒng)計(jì)相關(guān)的變量，如上文的身高X和體

14、重Y的關(guān)系的形式作近似的估計(jì)，稱(chēng)為回歸方程，現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象往往涉及眾多變量，它們之間有錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，且許多屬于非決定性質(zhì)，相關(guān)回歸理論的發(fā)明，提供了一種通過(guò)實(shí)際觀察去對(duì)這種關(guān)系進(jìn)行定量研究的工具，有著重大的認(rèn)識(shí)和實(shí)用意義。,到20世紀(jì)初年，由于上述幾個(gè)方面的發(fā)展，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已積累了很豐富的成果——在此因篇幅關(guān)系，我們不能詳盡無(wú)遺地一一列舉有關(guān)的重要成果，如抽樣調(diào)查的理論和方法方面的進(jìn)展，但是直到這時(shí)為止，我們還不能說(shuō)

15、現(xiàn)代意義下的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已經(jīng)建立起來(lái)，其主要標(biāo)志之一就是這門(mén)學(xué)問(wèn)還缺乏一個(gè)統(tǒng)一的理論框架，這個(gè)任務(wù)在20世紀(jì)上半葉得以完成，狹義一點(diǎn)說(shuō)可界定在1921——1938年，起主要作用的是幾位大師級(jí)的人物，特別是英國(guó)的費(fèi)歇爾·K·皮爾遜，發(fā)展統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)理論的奈曼與E·皮爾遜和提出統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)理論的瓦爾德等。我國(guó)已故著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶（1910——1970）在這項(xiàng)工作中也卓有建樹(shù)。,自二戰(zhàn)結(jié)束迄今，數(shù)理統(tǒng)

16、計(jì)學(xué)有了迅猛的發(fā)展，主要有以下三方面的原因：一是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)理論框架的建立以及概率論和數(shù)學(xué)工具的進(jìn)展，為統(tǒng)計(jì)理論在面上和向縱深的發(fā)展打開(kāi)了門(mén)徑和提供了手段，許多在早期比較粗略的理論和方法，在理論上得到了完善與深入，并不斷提出新的,論和方法，在理論上得到了完善與深入，并不斷提出新的研究課題；二是實(shí)用上的需要，不斷提出了復(fù)雜的問(wèn)題與模型，吸引了學(xué)者們的研究興趣；三是電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明與普及應(yīng)用，一方面提供了必要的計(jì)算工具——統(tǒng)計(jì)方法的

17、實(shí)施往往涉及大量數(shù)據(jù)的處理與運(yùn)算，用人力無(wú)法在合理的時(shí)間內(nèi)完成，所以在早年，一些統(tǒng)計(jì)方法人們雖然知道，但很少付諸實(shí)用，就因?yàn)槭侨肆λy及。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)解決了這個(gè)問(wèn)題。而賦予統(tǒng)計(jì)方法以現(xiàn)實(shí)的生命力。同時(shí)，計(jì)算機(jī)對(duì)促進(jìn)統(tǒng)計(jì)理論研究也有助益，統(tǒng)計(jì)模擬是其表現(xiàn)之一，在承認(rèn)上述成就的同時(shí)，不少統(tǒng)計(jì)學(xué)家也指出這一時(shí)期發(fā)展中出現(xiàn)的一些問(wèn)題或偏向，其中主要的一點(diǎn)是，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)理論研究中的“數(shù)學(xué)化”氣味愈來(lái)愈重，相當(dāng)一部分研究工作停留在數(shù)學(xué)的層面，早期

18、那種理論研究與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題密切結(jié)合的優(yōu)良傳統(tǒng)有所淡化，一些學(xué)者還提出了補(bǔ)救的建議，對(duì)未來(lái)統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的方向進(jìn)行探討。同時(shí)，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題愈來(lái)愈涉及到大量的，結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)據(jù)，按現(xiàn)行的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)范去處理，顯得力所不及，需要一些帶有根本性創(chuàng)新的思路，使統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展登上一個(gè)新的臺(tái)階，以適應(yīng)應(yīng)用上的需要，考慮這一背景，有的統(tǒng)計(jì)學(xué)家樂(lè)觀地認(rèn)為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)正面臨一個(gè)新的突破。,在上面講述數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r時(shí)，我們著重在實(shí)際 需要所起的促進(jìn)作用方面，由于概率

19、論的概念和方法是數(shù) 理統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)，概率論的進(jìn)展也必然對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 的發(fā)展起促進(jìn)作用。,概率，又稱(chēng)幾率，或然率，指一種不確定的情況出現(xiàn)可能性的大小，例如，投擲一個(gè)硬幣，“出現(xiàn)國(guó)徽”（國(guó)徽一面朝上）是一個(gè)不確定的情況。因?yàn)橥稊S前，我們無(wú)法確定所指情況（“出現(xiàn)國(guó)徽”）發(fā)生與否，若硬幣是均勻的且投擲有充分的高度，則兩面的出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等，我們說(shuō)“出現(xiàn)國(guó)徽”的概率是1/2；同時(shí)，投擲一個(gè)均勻骰子，“出現(xiàn)4點(diǎn)”的概率是1/6，

20、除了這些以及類(lèi)似的簡(jiǎn)單情況外，概率的計(jì)算不容易，往往需要一些理論上的假定，在現(xiàn)實(shí)生活中則往往用經(jīng)驗(yàn)的方法確定概率，例如某地區(qū)有N人，查得其中患某種疾病者有M人，則稱(chēng)該地區(qū)的人患該種疾病的概率為M/N，這事實(shí)上是使用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)發(fā)病概率的一個(gè)估計(jì)。,概率的概念起源于中世紀(jì)以來(lái)的歐洲流行的用骰子賭博，這一點(diǎn)不難理解，某種情況出現(xiàn)可能性的大小要能夠體察并引起研究的興趣，必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是該情況可以在多次重復(fù)中被觀察其發(fā)生與否（

21、在多次重復(fù)下出現(xiàn)較頻繁的情況有更大的概率），一是該情況發(fā)生與否與當(dāng)事人的利益有關(guān)或?yàn)槠渑d趣關(guān)注之所在，用骰子賭博滿(mǎn)足這些條件。,當(dāng)時(shí)有一個(gè)“分賭本問(wèn)題”曾引起熱烈的討論，并經(jīng)歷了長(zhǎng)達(dá)一百多年才得到正確的解決。在這過(guò)程中孕育了概率論一些重要的基本概念，舉該問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單情況：甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機(jī)會(huì)均等，都是1/2。約定：誰(shuí)先勝滿(mǎn)3局則他贏得全部賭注60元，現(xiàn)已賭完3局，甲2勝1負(fù)，而因故中斷賭

22、情，問(wèn)這60元賭注該如何分給2人，才算公平，初看覺(jué)得應(yīng)按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，還有人提出了一些另外的解法，結(jié)果都不正確，正確的分法應(yīng)考慮到如在這基礎(chǔ)上繼續(xù)賭下去，甲、乙最終獲勝的機(jī)會(huì)如何，至多再賭2局即可分出勝負(fù)，這2局有4種可能結(jié)果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝，二者之比為3：1，故賭注的公平分配應(yīng)按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。,當(dāng)時(shí)的一些學(xué)者，如惠更斯、巴斯

23、噶、費(fèi)爾馬等人，對(duì)這類(lèi)賭情問(wèn)題進(jìn)行了許多研究，有的出版了著作，如惠更斯的一本著作曾長(zhǎng)期在歐洲作為概率論的教科書(shū)，這些研究使原始的概率和有關(guān)概念得到發(fā)展和深化。不過(guò)，在這個(gè)概率論的草創(chuàng)階段，最重要的里程碑是伯努利的著作《推測(cè)術(shù)》。在他死后的1713年發(fā)表，這部著作除了總結(jié)前人關(guān)于賭情的概率問(wèn)題的成果并有所提高外，還有一個(gè)極重要的內(nèi)容，即如今以他的名字命名的“大數(shù)律”，大數(shù)律是關(guān)于（算術(shù)）平均值的定理，算術(shù)平均值，即若干個(gè)數(shù)X

24、1、X2……Xn之和除以n，是最常用的一種統(tǒng)計(jì)方法，人們經(jīng)常使用并深信不疑。但其理論根據(jù)何在，并不易講清楚， 就是伯努利的大數(shù)律要回答的問(wèn)題，在某種程度上可以說(shuō)，這個(gè)大數(shù)律是整個(gè)概率論最基本的規(guī)律之一，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基石。,概率論雖發(fā)端于賭博，但很快在現(xiàn)實(shí)生活中找到多方面的應(yīng)用，首先是在人口、保險(xiǎn)精算等方面，在其發(fā)展過(guò)程中出現(xiàn)了若干里程碑的《機(jī)遇的原理》，其第三版發(fā)表于1756年，法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯的《分析概率論》

25、，發(fā)表于1812年，1933年蘇聯(lián)教學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛲瓿闪烁怕收摰墓眢w系，在幾條簡(jiǎn)潔的公理之下，發(fā)展出概率論整座的宏偉建筑，有如在歐幾里得公理體系之下發(fā)展出整部幾何。自那以來(lái)，概率論成長(zhǎng)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，使用了許多深刻和抽象的數(shù)學(xué)理論，在其影響下，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論也日益向深化的方向發(fā)展。,中　國(guó),（1）公元前22世紀(jì)的夏禹王朝，分中國(guó)為九州，人口為1355萬(wàn)人，這是我國(guó)最早的土地和人口調(diào)查資料。（2）西周建立了統(tǒng)計(jì)報(bào)

26、告制度，經(jīng)歷春秋戰(zhàn)國(guó)，到秦統(tǒng)一中國(guó)，形成　了“上計(jì)”報(bào)告制度。（3）統(tǒng)計(jì)被認(rèn)為是治理國(guó)家的重要手段，例如，管子“舉事必成，不知計(jì)數(shù)不可”，“不明于數(shù)而欲大事，猶無(wú)舟楫而欲經(jīng)于水險(xiǎn)也?！鼻厣眺眲t指出“強(qiáng)國(guó)知十三數(shù)”的主張。（4）封建時(shí)代，中國(guó)的戶(hù)籍和田畝統(tǒng)計(jì)都有很大發(fā)展。秦始皇建立編戶(hù)制，東漢曾進(jìn)行全國(guó)田地測(cè)量，唐代計(jì)口授田，宋明有田畝魚(yú)鱗冊(cè)的土地調(diào)查地圖。明代人口普查的“戶(hù)帖”和“黃冊(cè)”。,西　方,（1）埃及在公元前27世紀(jì)，為建金

27、字塔和大型農(nóng)業(yè)灌溉系統(tǒng)，進(jìn)行全國(guó)人口和財(cái)產(chǎn)調(diào)查。（2）公元前15世紀(jì)猶太人為了戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)以色列進(jìn)行男丁調(diào)查。（3）《舊約》中記載，公元前10世紀(jì)前后，猶太國(guó)王大衛(wèi)和所羅門(mén)對(duì)全國(guó)進(jìn)行比較完整的人口和財(cái)產(chǎn)調(diào)查。（4）公元前6世紀(jì)，羅馬帝國(guó)以國(guó)勢(shì)調(diào)查作為治理國(guó)家的有效手段，規(guī)定每五年一次人口、土地、牲畜、家奴的調(diào)查。,,（5）進(jìn)入封建社會(huì)，統(tǒng)計(jì)調(diào)查往往采取財(cái)產(chǎn)目錄的形式，例如公元9世紀(jì)，法蘭克福國(guó)王查理大帝為編制“國(guó)庫(kù)財(cái)產(chǎn)大綱”而進(jìn)行包括人

28、口、土地、收入、農(nóng)產(chǎn)品、畜產(chǎn)品、工業(yè)品的調(diào)查?！　　?1世紀(jì)英國(guó)國(guó)王威廉為編“最終稅冊(cè)”對(duì)全國(guó)封建主和自由民的土地占有情況和市民財(cái)產(chǎn)狀況進(jìn)行調(diào)查。（6）15至18世紀(jì)歐洲封建社會(huì)進(jìn)入繁榮時(shí)期，統(tǒng)計(jì)更作為說(shuō)明各國(guó)國(guó)情的工具，出現(xiàn)了許多以報(bào)導(dǎo)國(guó)情為內(nèi)容統(tǒng)計(jì)著作，如英國(guó)的“死亡公報(bào)”。,,以上簡(jiǎn)單介紹資本主義社會(huì)以前的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，多半是結(jié)合賦稅、征兵作中進(jìn)行，為國(guó)家統(tǒng)治階級(jí)服務(wù)的。隨著資本主義經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，特別是現(xiàn)代化大生產(chǎn)，對(duì)統(tǒng)計(jì)提出了新的

29、要求，大大促進(jìn)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)和統(tǒng)計(jì)科學(xué)的發(fā)展。經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)形成了工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通、郵電、海關(guān)、銀行、保險(xiǎn)等等專(zhuān)業(yè)分支?！　　±?，1790年美國(guó)舉辦現(xiàn)代意義的人口普查，并按法律規(guī)定每十年舉辦一次；19世紀(jì)初西方各國(guó)政府設(shè)立專(zhuān)業(yè)的統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)。19世紀(jì)末成立國(guó)際統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)。統(tǒng)計(jì)方法也有很大發(fā)展，出現(xiàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)。,二、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義與作用,籠統(tǒng)地說(shuō)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和方法，與人類(lèi)活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域在不同程度上都有關(guān)聯(lián)。因?yàn)楦鱾€(gè)領(lǐng)域內(nèi)的活動(dòng)，都得在

30、不同的程度上與數(shù)據(jù)打交道。都有如何收集和分析數(shù)據(jù)的問(wèn)題，因此也就有數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)用武之地。我們可以舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，如在工業(yè)中生產(chǎn)一種產(chǎn)品，首先有設(shè)計(jì)的問(wèn)題，包括配方和工藝條件的選定，這要通過(guò)從大量可能的條件組合中，通過(guò)分析試驗(yàn)結(jié)果來(lái)選定，可能的條件組合很多，選擇哪一部分去做試驗(yàn)是一個(gè)很有講究的問(wèn)題，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)專(zhuān)門(mén)分支叫“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”，就是研究怎樣在盡可能少的試驗(yàn)次數(shù)之下，達(dá)到盡可能高效率的分析結(jié)果；其次，

31、在生產(chǎn)過(guò)程中，由于原材料，設(shè)備調(diào)整及工藝參數(shù)等條件可能的變化，而造成生產(chǎn)條件不正常并導(dǎo)致出現(xiàn)廢品，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一門(mén)“工序控制”的學(xué)問(wèn)，通過(guò)在生產(chǎn)過(guò)程中隨時(shí)收集數(shù)據(jù)并用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行處理，可以監(jiān)測(cè)出不正常情況的出現(xiàn)以便隨時(shí)加以糾正，避免出大的問(wèn)題；然后，大批量的產(chǎn)品生產(chǎn)出來(lái)后，還有一個(gè)通過(guò)抽樣檢驗(yàn)以檢驗(yàn)其質(zhì)量是否達(dá)到要求，是否可以出廠或?yàn)橘I(mǎi)方所接受的問(wèn)題，處理這個(gè)問(wèn)題也要使用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，在我國(guó)現(xiàn)行的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中有一些就與這個(gè)

32、問(wèn)題有關(guān)。,圖1 股票分析系統(tǒng),,圖2 經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)分析,大的問(wèn)題；然后，大批量的產(chǎn)品生產(chǎn)出來(lái)后，還有一個(gè)通過(guò)抽樣檢驗(yàn)以檢驗(yàn)其質(zhì)量是否達(dá)到要求，是否可以出廠或?yàn)橘I(mǎi)方所接受的問(wèn)題，處理這個(gè)問(wèn)題也要使用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，在我國(guó)現(xiàn)行的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中有一些就與這個(gè)問(wèn)題有關(guān)。,在農(nóng)業(yè)上，有關(guān)選種，耕作條件，肥料選擇等一系列的問(wèn)題的解決，都與統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用有關(guān)，在歷史上，現(xiàn)行的一些重要的統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)與分析方法，就是近代最偉大的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾于上世紀(jì)20年代

33、在英國(guó)一個(gè)農(nóng)業(yè)試驗(yàn)站工作時(shí)，因研究田間試驗(yàn)的問(wèn)題而發(fā)明的。,醫(yī)學(xué)與生物學(xué)是統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用最多的領(lǐng)域之一，統(tǒng)計(jì)學(xué)是在有變異的數(shù)據(jù)中研究和發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué)，就醫(yī)學(xué)而言，人體變異是一個(gè)重要的因素，不同的人的情況千差萬(wàn)別，其對(duì)一種藥物和治療方法的反應(yīng)也各不相同，因此，對(duì)一種藥物和治療方法的評(píng)價(jià)，是一種統(tǒng)計(jì)性規(guī)律的問(wèn)題，不少?lài)?guó)家對(duì)一種新藥的上市和一種治療方法的批準(zhǔn)，都設(shè)定了很?chē)?yán)格的試驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的要求，又如：許多生活習(xí)慣（如吸煙、飲酒

34、、高鹽飲食之類(lèi)）對(duì)健康的影響，環(huán)境污染對(duì)健康的影響，都要通過(guò)收集大量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析來(lái)研究。,對(duì)社會(huì)現(xiàn)象的研究大量地使用統(tǒng)計(jì)方法，因?yàn)榻M成社會(huì)的單元——人、家庭、單位、地區(qū)等，都有很大的變異性，如果說(shuō)，在自然現(xiàn)象中還不乏一些（在誤差可以允許的限度內(nèi)）嚴(yán)格的、確定性的規(guī)律，在社會(huì)現(xiàn)象中這種規(guī)律則絕少，因此只能從統(tǒng)計(jì)的角度去考察，我們常說(shuō)，某某措施，某某政策，對(duì)大多數(shù)人是有利的，這就是一種統(tǒng)計(jì)性規(guī)律，因?yàn)檫@種“有利”是指對(duì)大多數(shù)，

35、而非一切人。在20世紀(jì)初，就有統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究過(guò)在英國(guó)幾種救助貧困的方式的效果的評(píng)估，這都是借助抽樣調(diào)查并通過(guò)復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)分析得出的結(jié)果，如今，抽樣調(diào)查已經(jīng)成為研究社會(huì)現(xiàn)象的一種最有力的工具，因?yàn)槿嬲{(diào)查往往不可行，而抽樣調(diào)查，從其方案的制定到數(shù)據(jù)的分析，都是以數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和方法為基礎(chǔ)。,三、統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展前景展望,這個(gè)問(wèn)題在前面第一個(gè)問(wèn)題中曾涉及一點(diǎn)。現(xiàn)在再簡(jiǎn)單的補(bǔ)充幾句，前面曾提到，20世紀(jì)下半葉以來(lái)，由于人們對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)

36、展中某些偏向進(jìn)行反思，統(tǒng)計(jì)學(xué)界就不時(shí)地討論到“統(tǒng)計(jì)學(xué)未來(lái)發(fā)展方向”這個(gè)問(wèn)題，自20世紀(jì)70年代以來(lái)國(guó)際上有過(guò)一系列以此為主題或涉及此主題的學(xué)術(shù)會(huì)議，臨近上世紀(jì)末，更有若干知名的統(tǒng)計(jì)學(xué)者撰文討論這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)今的情況是：對(duì)某些一般的原則性的問(wèn)題有普遍的共識(shí)，但對(duì)未來(lái)統(tǒng)計(jì)學(xué)將向那個(gè)方向發(fā)展或應(yīng)當(dāng)向那個(gè)方向發(fā)展這個(gè)問(wèn)題，則不能說(shuō)已有了廣泛一致的看法和意見(jiàn)，下面只就幾個(gè)比較有影響的觀點(diǎn)來(lái)談?wù)劇?一個(gè)大家都同意的原則是，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展

37、，應(yīng)當(dāng)繼承和發(fā)揚(yáng)早期那種與實(shí)際密切結(jié)合的優(yōu)良傳統(tǒng)，這不是否定理論研究的作用，而是提倡，理論研究的成果應(yīng)當(dāng)對(duì)分析實(shí)際數(shù)據(jù)有用，美國(guó)老一輩著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家圖基早在1960年代就提出，對(duì)于那種于分析數(shù)據(jù)無(wú)用的研究成果，其意義僅限于從純數(shù)學(xué)的角度去評(píng)價(jià)。,另一種得到比較廣泛認(rèn)同的觀點(diǎn)，是認(rèn)同 統(tǒng)計(jì)學(xué)研究應(yīng)努力與其他實(shí)用學(xué)科結(jié)合而形成交叉或邊緣學(xué)科，這一點(diǎn)目前已有一定的表現(xiàn)，如生物統(tǒng)計(jì)、醫(yī)藥統(tǒng)計(jì)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、金融統(tǒng)計(jì)等，都是當(dāng)前發(fā)展很快的熱點(diǎn)

38、，有的學(xué)者認(rèn)為 研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)必須與另一門(mén)專(zhuān)門(mén)學(xué)問(wèn)結(jié)合，才有可能做出有重要意義的成果。這一點(diǎn)已在若干成功的學(xué)者身上得到印證，有個(gè)別走得更遠(yuǎn)的學(xué)者認(rèn)為，統(tǒng)一的統(tǒng)計(jì)學(xué)將會(huì)因?yàn)榕c其他學(xué)科結(jié)合發(fā)展而分裂成許多并行的學(xué)科，好比一個(gè)大國(guó)分裂成一些小國(guó)，并把這稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)學(xué)的巴爾干化——與昔日巴爾干半島上統(tǒng)一的南斯拉夫如今分裂為一些小國(guó)相比。但是，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與其他學(xué)科結(jié)合形成交叉學(xué)科這,個(gè)引人注目的發(fā)展，是否將導(dǎo)致“統(tǒng)一的”或“一般的”統(tǒng)計(jì)學(xué)的

39、消亡或衰落，這一點(diǎn)現(xiàn)在看來(lái)并不確定，至少多數(shù)學(xué)者現(xiàn)在還不這么認(rèn)為。,圖基在1962年在一篇長(zhǎng)文中提出“數(shù)據(jù)分析”的思想，幾十年來(lái)得到國(guó)際上一些有影響的學(xué)者的支持，要全面講清楚這種觀點(diǎn)需要較多的篇幅，這里只就其一個(gè)核心的觀點(diǎn)來(lái)討論一下，這涉及到對(duì)現(xiàn)行的數(shù)理統(tǒng)計(jì)規(guī)范的地位問(wèn)題，前面我們?cè)劦?，由于統(tǒng)計(jì)學(xué)處理的是帶隨機(jī)誤差的數(shù)所，由分析這種數(shù)數(shù)據(jù)，得出的結(jié)論就有可能出錯(cuò)或不準(zhǔn)確，出錯(cuò)的可能性的大小，不準(zhǔn)確的程度如何，需要用概率論的

40、概念和方法作定量的刻畫(huà)，在研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題時(shí)，必須把這作為一個(gè)目標(biāo)，朝這個(gè)方向努力，這就是現(xiàn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的規(guī)范。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)之所以能被承認(rèn)為一門(mén)有嚴(yán)格理論基礎(chǔ)的學(xué)科，是與遵守這一規(guī)范聯(lián)系在一起的。但是，如果我們真的嚴(yán)格遵守這一規(guī)范，則以現(xiàn)在我們的知識(shí)水平而言，許多問(wèn)題將無(wú)法下手。于是，學(xué)者們只好轉(zhuǎn)向一些人為的、不太復(fù)雜的、用現(xiàn)行數(shù)學(xué)工具可以處理的模型，這種模型往往有“閉門(mén)造車(chē)”的缺點(diǎn)而缺乏現(xiàn)實(shí)性，圖基的“數(shù)據(jù)分析”思想的一個(gè)觀點(diǎn)是

41、，主張淡化這個(gè)規(guī)范。,這種說(shuō)法有一定的事實(shí)根據(jù)，可以說(shuō)，在實(shí)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的領(lǐng)域中，這個(gè)規(guī)范并不總是得到嚴(yán)格遵守的，現(xiàn)在我們有一些統(tǒng)計(jì)方法，它用起來(lái)有較好的效果，但在理論上并沒(méi)有搞清楚其錯(cuò)誤或偏差的可能性或數(shù)量有多大；另外，隨著科技的發(fā)展，不斷提出一些更復(fù)雜的模型，以我們現(xiàn)有的知識(shí)水平，沒(méi)有可能對(duì)之作出完全符合上述規(guī)范的處理，而只能退而求其次，尋求一種在實(shí)用上可行的解法，當(dāng)然，應(yīng)當(dāng)明確，在研究工作中達(dá)不到上述規(guī)范，與從根本上取消或淡

42、化這個(gè)規(guī)范是兩回事，一門(mén)學(xué)科必須有其規(guī)范或科學(xué)的定位（回答這門(mén)學(xué)科是什么的問(wèn)題，判定其成果的可信性與意義等等，而這不能用籠統(tǒng)的說(shuō)法，必須用確切的科學(xué)語(yǔ)言）。如果用數(shù)據(jù)分析取代現(xiàn)行的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，就有一個(gè)為數(shù)據(jù)分析定位的問(wèn)題，而這至今還沒(méi)有一個(gè)滿(mǎn)意的解決，以此之故，雖然數(shù)據(jù)分析的提法獲得不少支持且在實(shí)際的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中有所反映（例如現(xiàn)在媒體中常提及的“數(shù)據(jù)挖掘”Data Mining）。雖然，數(shù)據(jù)挖掘并不單純是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)課題，它至今

43、尚未能動(dòng)搖現(xiàn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的主流地位。,除了上述幾種富于原則性的思想外，也有一部分學(xué)者致力于在現(xiàn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)的框架下尋求新的生長(zhǎng)點(diǎn)，在這方面也有不少的討論或爭(zhēng)論，如關(guān)于費(fèi)歇爾的統(tǒng)計(jì)學(xué)思想和研究成果的再認(rèn)識(shí)，關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“頻率學(xué)派”與“貝葉斯學(xué)派”之間的爭(zhēng)論等，因涉及較多的數(shù)學(xué)概念，不能在此細(xì)談了。,我個(gè)人認(rèn)為，由于統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)有廣泛應(yīng)用的學(xué)科，應(yīng)用問(wèn)題的多面性，要求不拘一格的處理方法，應(yīng)用效果的多目標(biāo)性以及統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的“不完全信

44、息”的性質(zhì)（指數(shù)據(jù)并未包含與問(wèn)題有關(guān)的完整信息），也決定了統(tǒng)計(jì)方法的發(fā)展不致受某一種思想所支配，因此，至少在可以預(yù)見(jiàn)的將來(lái)，統(tǒng)計(jì)學(xué)的進(jìn)展將是一種“多元”的局面，不會(huì)出現(xiàn)某種趨勢(shì)占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的情況。,三、統(tǒng)計(jì)研究的基本環(huán)節(jié),統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì),,收集數(shù)據(jù),,整理與分析,,資料積累開(kāi)發(fā)應(yīng)用,統(tǒng)計(jì)學(xué)理論與相關(guān)實(shí)質(zhì)性學(xué)科理論,統(tǒng)計(jì)調(diào)查、實(shí)驗(yàn),描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì),—— 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)、試驗(yàn)， 以取得有代表性的觀測(cè)值,——

45、對(duì)已取得的觀測(cè)值進(jìn)行整理、 分析,作出推斷、決策,從而 找出所研究的對(duì)象的規(guī)律性,,,四、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分類(lèi),數(shù)參估計(jì) (第二章),假設(shè)檢驗(yàn) (第三章),回歸分析 (第四章),方差分析 (第五章),推斷 統(tǒng)計(jì)學(xué),,,正交分析 (第六章),總體 —— 研究對(duì)象全體元素組成的集合 所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量).記為X .,X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱(chēng)為總體的分布函數(shù)和數(shù)字

46、特征.,§ 1.2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念,樣本 —— 從總體中抽取的部分個(gè)體.,稱(chēng) 為總體 X 的一個(gè)容量為n的樣本觀測(cè)值,或稱(chēng)樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn).,用 表示, n 為樣本容量.,樣本空間 —— 樣本所有可能取值的集合.,個(gè)體 —— 組成總體的每一個(gè)元素 即總體的每個(gè)數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī)變量 X 的某個(gè)取值.用 表示.,若總體 X 的樣本

47、 滿(mǎn)足:,一般,對(duì)有限總體,放回抽樣所得到的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.而代替的條件是,(1) 與X 有相同的分布,(2) 相互獨(dú)立,則稱(chēng) 為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,N / n ? 10.,設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為F (x),則樣本,若總體X 的密 d.f.為 f( x),則樣本,的聯(lián)合 d.f.為,的聯(lián)合分布函數(shù)為,例如： X1，X2，

48、…，Xn 為取自總體 N(0,1) 的樣本，則其聯(lián)合密度函數(shù),例如 設(shè)某批產(chǎn)品共有N 個(gè),其中的次品數(shù)為M, 其次品率為,若 p 是未知的,則可用抽樣方法來(lái)估計(jì)它.,X 服從參數(shù)為p 的0-1分布,可用如下表示方法:,從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)產(chǎn)品,用隨機(jī)變量X來(lái)描述它是否是次品:,設(shè)有放回地抽取一個(gè)容量為 n 的樣本,的聯(lián)合分布為,其樣本值為,樣本空間為,若抽樣是無(wú)放回的,則前次抽取的結(jié)果會(huì)影響后面抽取的結(jié)果.例如,所以, 當(dāng)樣本容量

49、 n 與總體中個(gè)體數(shù)目N 相比很小時(shí), 可將無(wú)放回抽樣近似地看作放回抽樣.,例1（P147）隨機(jī)地觀測(cè)總體X 得8個(gè)數(shù)據(jù)：2.5，3，2.5，3.5，3，2.7，2.5，2，試求X 的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。,解,2 < 2.5 = 2.5 = 2.5 < 2.7 < 3 = 3 < 3.5,2 2.5 2.7 3 3.5,1/8 3/8 1/8 2/8 1/8,一般Fn(x

50、)對(duì)應(yīng)分布列：,P(X=xi)=1/n，i=1,2,...,n,,隨機(jī)模擬顯示,格列汶科定理,,右連續(xù),設(shè) 是取自總體X 的一個(gè)樣本,,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),,稱(chēng),定義,例 是未知參數(shù),,若 ? ,? 已知,則為統(tǒng)計(jì)量,是一樣本,,是統(tǒng)計(jì)量, 其中,則,常用的統(tǒng)計(jì)量,為樣本均值,為樣本方差,為樣本標(biāo)準(zhǔn)差,為樣本的k 階原點(diǎn)矩,為樣本的k 階中心矩,例如,,(5) 順序統(tǒng)

51、計(jì)量與極差,為樣本值,且,定義 r.v.,其中,,注 樣本方差 與樣本二階中心矩 的不同,故,推導(dǎo),2）,例1 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件, 測(cè)得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199求這組樣本值的均值、方差、二階原點(diǎn)矩與二階中心矩.,解,令,例1,則,例2 在總體