數(shù)理統(tǒng)計(jì)之大數(shù)定理

1、大數(shù)定律及中心極限定理,一、問(wèn)題的引入,二、大數(shù)定律,三、中心極限定理,四、小結(jié),,,,,,一、問(wèn)題的引入,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái). 也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.,,,研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,,契比雪夫不等

2、式,切比雪夫不等式,定理 設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ，方差D(X)= ,則對(duì)于任意正數(shù) ,不等式,成立.,,二、大數(shù)定律,設(shè)X1,X2, …是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…,且方差有共同的上界M，則對(duì)任給 >0,,,定理一（契比雪夫定理）,證明,由契比雪夫不等式可得,并且概率不能大于1, 則,,關(guān)于定理一的說(shuō)明:,（這個(gè)接近是概率意義下的接近

3、）,當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的算術(shù)平均接近于數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值,,,定理二（伯努利大數(shù)定理）,證明,引入隨機(jī)變量,,顯然,根據(jù)定理一有,,關(guān)于伯努利定理的說(shuō)明:,故而當(dāng) n 很大時(shí), 事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小. 在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí), 便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率.,伯努利大數(shù)定律表明，事件A發(fā)生的頻率nA/n依概率收斂于事件A的概率p. 這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了

4、頻率的穩(wěn)定性.,,定理三（辛欽定理）,關(guān)于辛欽定理的說(shuō)明:,(1) 與定理一相比, 不要求方差存在;,(2) 伯努利定理是辛欽定理的特殊情況.,,例,解,由辛欽定理知,,,三、中心極限定理,,中心極限定理的客觀背景:,在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,,,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.,如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，,炮彈或炮身結(jié)

5、構(gòu)所引起的誤差等等.,,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).,,現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？,在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？,,由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研

6、究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身，而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量,的分布函數(shù)的極限.,可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 這就是下面要介紹的,中心極限定理,,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.,我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形.,,定理四（獨(dú)立同分布的中心極限定理）,它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.,設(shè)X1,X2, …,Xn , …是獨(dú)立同分布的

7、隨機(jī)變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,…,n，則,,定理四的說(shuō)明：,于是有,或者,,這說(shuō)明均值為μ，方差為σ2 的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均近似服從均值為μ，方差為σ2 /n的正態(tài)分布.,這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ).,,定理五（李雅普諾夫定理）,,則,定理五表明無(wú)論各個(gè)隨機(jī)變量服從什么分布，只要滿足定理的條件，那么它們的和當(dāng)n很大時(shí)，近似服從正態(tài)分布.(如實(shí)例中射擊偏差

8、服從正態(tài)分布),,定理六(棣莫佛－拉普拉斯定理),定理六表明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布, 當(dāng)n充分大時(shí), 可以利用該定理來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.,,證明,根據(jù)定理四得,例3,解,由定理四, 知：,一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓,，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變,上服從均勻分布.記,，求,的近似值.,量，且都在區(qū)間,,,,例4,一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊, 縱搖角大于 3º 的概率為1/3, 若船舶遭受了90 00

9、0次海浪沖擊, 問(wèn)其中有29 500～30 500次縱搖角大于 3º 的概率是多少？,解,將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn),,并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的,,在90 000次海浪沖擊中縱搖角大于 3º 的次數(shù)為 X,,則 X 是一個(gè)隨機(jī)變量,,,所求概率為,分布律為,直接計(jì)算很麻煩，利用棣莫佛－拉普拉斯定理,,,,例5,某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元. 若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬(wàn)元

10、. 設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.,解,設(shè) X 為一年中投保老人的死亡數(shù),,由棣莫佛－拉普拉斯定理知,,,保險(xiǎn)公司虧本的概率,,四、小結(jié),三個(gè)大數(shù)定理,契比雪夫定理,伯努利大數(shù)定理,辛欽定理,頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ), 而伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性.,,三個(gè)中心極限定理,獨(dú)立同分布的中心極限定理,李雅普諾夫定理,棣莫佛－拉普拉斯定理,中心極限定理表明, 在相當(dāng)一般的