哈工程振動(dòng)與波習(xí)題課

1、振動(dòng)與波的教學(xué)要求 1. 掌握諧振動(dòng)的基本特性及描寫(xiě)諧振動(dòng)的基本物理量以及它們的物理意義。熟練掌握利用旋轉(zhuǎn)矢量的方法解決諧振動(dòng)的問(wèn)題。 2.理解諧振動(dòng)中的能量轉(zhuǎn)換過(guò)程，了解振動(dòng)能量與振幅的關(guān)系。 3.了解阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)及共振動(dòng)現(xiàn)象。 4.熟練掌握同方向同頻率諧振動(dòng)的合成。了解不同頻率同方向振動(dòng)的合成，利用垂直振動(dòng)的合成求未知信號(hào)的頻率。 5.熟練掌握平面簡(jiǎn)諧波方程及方程中各物理量的意義。掌握波

2、動(dòng)中能量的傳播和變化，會(huì)導(dǎo)出平均能流密度的公式，比較波動(dòng)能量和振動(dòng)能量之間的異同。 6.熟練掌握干涉現(xiàn)象及相干波的條件。掌握形成駐波的條件及駐波的波動(dòng)方程，理解駐波與行波的區(qū)別。7.掌握多普勒效應(yīng)。,,一、基本概念,1、振幅：振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值.,2、周期：振動(dòng)物體完成一次完整振動(dòng)所需要的時(shí)間.,3、頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)物體完成完整振動(dòng)的次數(shù).,4、相位：表示諧振動(dòng)狀態(tài)的最重要的物理量.,5、波長(zhǎng)：振動(dòng)

3、相位相同的兩個(gè)相鄰波陣面之間的距離 是一個(gè)波長(zhǎng).,6、波速：?jiǎn)挝粫r(shí)間某種一定的振動(dòng)狀態(tài)(或振動(dòng)相位) 所傳播的距離.,7、平均能量密度：能量密度的平均值.,8、平均能流密度：能流密度的平均值。,二、基本規(guī)律,1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程,2、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,3、由初始條件確定,4、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,5、同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：,6、一維簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：,7、波的干涉：頻率相同、振動(dòng)方向相同、初位

4、相差恒定。,8、駐波：,振幅相同、在同一直線(xiàn)上沿相反方向傳播的兩列相干波，時(shí)疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象.,9、多普勒效應(yīng)：,三、基本題型,1、已知運(yùn)動(dòng)方程求相應(yīng)物理量。,2、會(huì)證明簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法，并求出諧振動(dòng)的周期。,3、已知一些條件給出諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。,4、已知波動(dòng)方程求相應(yīng)物理量。,5、已知一些條件給出波動(dòng)方程。,6、能解決波的干涉問(wèn)題。,7、能解決能量問(wèn)題。,二、典型例題,1、一木板在水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅是12cm,在距

5、平衡位 置6cm處速度是24cm/s。如果一小物塊置于振動(dòng)木板上, 由于靜磨擦力的作用,小物塊和木板一起運(yùn)動(dòng)(振動(dòng)頻率 不變),當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)到最大位移處時(shí),物塊正好開(kāi)始在木板 上滑動(dòng),問(wèn)物塊與木板之間的靜摩擦系數(shù)?為多少?,1、已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求出物理量,解：,2、一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧，其上端與一質(zhì)量為m的平板A相連，且板靜止。今有一質(zhì)量也為m的物體自距A為h高處自由落下，與A發(fā)生完全非彈

6、性碰撞。試證明碰撞后系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)并給出該振動(dòng)的振動(dòng)方程。,2、會(huì)證明簡(jiǎn)諧振動(dòng)，能求出諧振動(dòng)的周期并給出振動(dòng)方程,解：,m作加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),m與A作完全非彈性碰撞,2m作簡(jiǎn)諧振動(dòng),（1）機(jī)械能守恒,（2）動(dòng)量守恒,（3）證明：,確定坐標(biāo)及坐標(biāo)原點(diǎn),其中：,利用初始條件：,3、兩個(gè)完全相同的輪相向高速旋轉(zhuǎn)，軸在同一平面上， 間距d=10cm，板與輪間的摩擦系數(shù)? =0.25， （1）求證：此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)； （2）求

7、出該振動(dòng)的振動(dòng)周期。,解：,F=fA-fB=?NA- ? NB= - 2 ? Mgx/d=Ma,力矩平衡 NAd=Mg(d/2-x) NBd=Mg(d/2+x),4、一勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)的半徑為R，掛在墻上的釘子上，證明該物體的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件，并給出擺動(dòng)的周期。,作業(yè)23. 如圖所示，輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端系以輕繩，輕繩繞過(guò)滑輪連接一質(zhì)量為 m的物體，繩在輪上不打滑，使物體上下自由振動(dòng)。已知彈簧的

8、倔強(qiáng)系數(shù)為k，滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。（1）證明物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）求物體振動(dòng)周期；（3）設(shè)t=0時(shí)，彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，物體無(wú)初速，寫(xiě)出物體的振動(dòng)方程。,作業(yè)24. 一物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng),其速度最大值vm=3cm/s,其振幅A=2cm.若t=0時(shí),物體位于平衡位置且向x軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)周期;（2）加速度的最大值;（3）振動(dòng)方程的表達(dá)式。,作業(yè)33. 勁度系數(shù)分別為K1和K2的兩根輕彈簧和質(zhì)量為的物體相連，如圖所示，試寫(xiě)出物體

9、的動(dòng)力學(xué)方程并求該振動(dòng)系統(tǒng)的周期。,,5、1. 一物體同時(shí)參與同一直線(xiàn)上的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)：x1 = 0.03cos ( 4 ? t + ? /3 ) (SI) 與 x2 = 0.05cos ( 4 ? t－2?/3 ) (SI)求合成振動(dòng)的振動(dòng)方程為.,能解決諧振動(dòng)的合成問(wèn)題。,m,作業(yè)26. 兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為 x1=0.04cos2π(t+1/8) (SI) x2=0.0

10、3cos2π(t+1/4) (SI)求：合振動(dòng)方程。,,4、已知波動(dòng)方程求相應(yīng)物理量。,6、一橫波沿繩子傳播，其波的表達(dá)式為 (SI)(1) 求此波的振幅

11、、波速、頻率和波長(zhǎng)． (2) 求繩子上各質(zhì)點(diǎn)的最大振動(dòng)速度和最大振動(dòng)加速度． (3) 求x1 = 0.2 m處和x2 = 0.7 m處二質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差．,(1)A = 0.05 m， ? = 50 Hz， ?= 1.0 m u = 50 m/s,(2) 15.7m /s 4.93?103m/s2,(3),5、已知一

12、些條件給出波動(dòng)方程。,作業(yè)27. 已知一沿x 軸負(fù)方向傳播的平面余弦波，在t=1/3s時(shí)的波形如圖，且周期T=2s。（1）寫(xiě)出O點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）寫(xiě)出該波的波動(dòng)方程；（3）寫(xiě)出Q點(diǎn)的振動(dòng)方程；（4）Q點(diǎn)離O點(diǎn)的距離多大？,作業(yè)28. 一振幅為10 cm，波長(zhǎng)為200 cm的一維余弦波。 沿x 軸正方向傳播，波速為100 cm/s，在t = 0時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始從平衡位置沿正位移方向運(yùn)動(dòng)。 求：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）在x

13、= 150 cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。,作業(yè)34． 一平面簡(jiǎn)諧縱波沿著線(xiàn)圈彈簧傳播，設(shè)波沿著x 軸正向傳播，彈簧中某圈的最大位移為3.0 cm，振動(dòng)頻率為25Hz，彈簧中相鄰兩疏部中心的距離為24cm，當(dāng)t = 0時(shí)，在x = 0處質(zhì)元的位移為零并向x 軸正向運(yùn)動(dòng)。試寫(xiě)出該波的波動(dòng)方程。,6、能解決波的干涉問(wèn)題。,7、如圖所示，兩相干波源S1和S2的距離為d =30m，S1和S2都在x 坐標(biāo)軸上，S1位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)由S1和S2分別發(fā)出的

14、兩列波沿x軸傳播時(shí)，若兩波強(qiáng)度相等，x1 = 9m和x2 = 12m 處的兩點(diǎn)是相鄰的兩個(gè)因干涉而靜止的點(diǎn)，求:兩波的波長(zhǎng)。,由題中已知條件:,8、 如圖所示，原點(diǎn)O是波源，振動(dòng)方向垂直于紙面，波長(zhǎng)是?，AB為波的反射平面，反射時(shí)無(wú)半波損失。O點(diǎn)位于A(yíng)點(diǎn)的正上方，AO = h，OX軸平行于A(yíng)B，求OX軸上干涉加強(qiáng)點(diǎn)的坐標(biāo)（限于x ≥0),解：沿Ox軸傳播的波與從AB面上P點(diǎn)反射來(lái)的波在坐標(biāo)x處 相遇，兩波的波程差為：

15、,（當(dāng)x=0時(shí)由4h2-k2?2=0可得k=2h/?..),9、振幅為A，頻率為?，波長(zhǎng)為?的一簡(jiǎn)諧波沿弦線(xiàn)傳播，在自由端A點(diǎn)反射（如圖），假設(shè)反射后的波不衰減，已知：OA = 7 ? /8，OB = ? /2，在t = 0時(shí)，x = 0處媒質(zhì)質(zhì)元的合振動(dòng)經(jīng)平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求B點(diǎn)處入射波和反射波的合成振動(dòng)方程。,解：設(shè)入射波的表達(dá)式為:,設(shè)OA=l，則反射波的表達(dá)式為:,駐波的表達(dá)式為:,其中，

16、 , B點(diǎn)(x=?/2)的振動(dòng)方程為:,10、在一根線(xiàn)密度?=10-3kg/m和張力F=10N的弦線(xiàn)上，有一列沿軸x正方向傳播簡(jiǎn)諧波，其頻率?=50Hz，振幅A=0.04m。已知弦上離坐標(biāo)原點(diǎn)x1=0.5m處的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)刻的位移為+A/2，且沿軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)傳播到x2=10m處固定端時(shí)，被全部反射。試求：1）入射波和反射波的方程；2）入射波和反射波迭加波在取間內(nèi)波腹和波節(jié)處各點(diǎn)的坐標(biāo)；3）合成波的平均能流

17、。,3),答案四：,m,m,1),2),m,作業(yè)30. 如圖所示，兩列平面簡(jiǎn)諧相干橫波，在兩種不同的媒質(zhì)中傳播，在分界面上的P點(diǎn)相遇. 頻率γ= 100Hz，振幅A1 = A2 = 1.00×10 –3m，S1 的位相比S2的位相超前1/2π，在媒質(zhì)1中波速u(mài)1 = 400m/s，在媒質(zhì)2中的波速u(mài)2 = 500m/s，S1P = r1 = 4.00m , S2P = r2 =3.75m , 求：P點(diǎn)的合振幅。,作業(yè)31、一平

18、面簡(jiǎn)諧波沿x正向傳播，如圖所示。振幅為A，頻率為?，傳播速度為u。（1）t=0時(shí)，在原點(diǎn)O處的質(zhì)元由平衡位置向y 軸正方向運(yùn)動(dòng)，試寫(xiě)出該波的波動(dòng)方程；（2）若經(jīng)界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，試寫(xiě)出反射波的波動(dòng)方程，并求出在x軸上因入射波和反射波疊加而靜止的各點(diǎn)的位置。,作業(yè)32. 在繩上傳播的入射波方程為 , 入射波在x = 0處繩端反射，反射端為固定端，設(shè)反射波不衰減，求：駐波方程。,7、能解決諧振動(dòng)和波的能量問(wèn)題。,11.

19、一平面簡(jiǎn)諧機(jī)械波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，若某媒質(zhì)元在t 時(shí)刻的能量是10 J ,則在( t +T) (T為波的周期)時(shí)刻該媒質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能是多少？,作業(yè)25. 一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.20m，如彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=2.0N/m，所系物體的質(zhì)量 m=0.50kg，試求：（1）當(dāng)動(dòng)能和勢(shì)能相等時(shí)，物體的位移；（2）設(shè)t=0時(shí)，物體在正最大位移處，達(dá)到動(dòng)能和勢(shì)能相等時(shí)所需時(shí)間是多少？（在一個(gè)周期內(nèi)）,作業(yè)29. 一彈性波在介質(zhì)中以速度u=1