高等流體力學(xué)—理想不可壓縮流體無旋運動

1、1,第七章 理想不可壓縮流體無旋運動,2,,第一節(jié)　引言,一、不可壓縮理想流體無旋運動模型1）理想：粘性力<< 慣性力的區(qū)域，忽略粘性力作用，簡化方程 例如繞流問題中邊界層以外區(qū)域的流動。不脫體繞流流動在研究壓力場和速度場時可不計邊界層，近似看成理想流體繞流物體流動。,3,,第一節(jié)　引言,一、不可壓縮理想流體無旋運動模型2）不可壓縮：　　 液體，通常情況下。 氣體，低速繞流運動（流速&

2、lt;< 聲速）， 例如飛機速度<100m/s時。 3）無旋運動：在以上近似下，有勢體力場中流體渦旋運動性質(zhì)具有保持性，即初始無旋則永遠無旋。在流體從靜止開始的運動中和無窮遠均勻來流繞流物體的運動等，流動均無旋。此模型是對一類廣泛存在的流動問題的理想近似。,4,N-S方程,,運動方程,本構(gòu)方程,,μ為常數(shù),5,,第一節(jié)　引言,二、基本方程組,方程組求解的困難: (1) 慣性項非線

3、性；(2) 速度v與壓力p相互關(guān)聯(lián)，需要聯(lián)立求解,初始條件：t=0時,邊界條件：,6,,若運動無旋，則：,,存在勢函數(shù)，滿足：,代入連續(xù)性方程，得：,拉普拉斯方程：線性的二階偏微分方程,7,,若流體是理想不可壓縮的，外力有勢，且運動無旋，則運動方程可以積分求解，得到拉格朗日積分方程：,,,,8,,對理想不可壓縮流體無旋運動，方程組和初始、邊界條件為：,,適用范圍：粘性力<< 慣性力或其他力的區(qū)域，忽略粘性力作用,9,,第二節(jié)

4、　理想不可壓縮流體平面無旋運動,一、平面定常運動條件：1) 穩(wěn)定流動，隨時間變化可忽略不計；2) 所研究的流動區(qū)域在一個方向的尺寸比其他兩個方向大得多；3) 流體參數(shù)在小尺寸的方向上變化很小，基本為定值；,數(shù)學(xué)表達1) 流體運動只在與Oxy平面平行的平面內(nèi)進行，w=0；2) 在與Oz軸平行的直線上所有物理量不變，即：,10,繞無限翼展的流動(平面流動),,11,繞有限翼展的流動(三維流動),,12,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體

5、平面無旋運動,二、速度勢函數(shù)對平面運動：w=0,,13,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,二、速度勢函數(shù)對平面無旋運動：w=0,,速度分量滿足的關(guān)系,存在勢函數(shù)　　　　 滿足：,14,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,若平面無旋運動速度分布v已知，則勢函數(shù)為：,速度勢函數(shù) 滿足下列性質(zhì)：,M與M0分別為流場中任意兩點,1) 速度勢函數(shù)可允許相關(guān)一任意常數(shù)，而不影響流體的運動；2) 　　　　常數(shù)是等勢線，它的法線方向和

6、速度矢量的方向重合：,15,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,3) 沿曲線MM0的速度環(huán)量等于這兩點處勢函數(shù)的差值：,M與M0分別為流場中任意兩點,4) 若研究的流動區(qū)域是單連通區(qū)域，則由于封閉回線的速度環(huán)量,因此速度勢函數(shù)是單值函數(shù)。,16,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,單連通區(qū)域：如果區(qū)域內(nèi)任兩點都可用區(qū)域內(nèi)的一條曲線連接，則這樣的區(qū)域是連通的。如果在連通的區(qū)域內(nèi)任一封閉曲線可以不出邊界的連續(xù)收縮到一點，則此連通區(qū)域

7、稱為單連通區(qū)域,球體內(nèi)部－單連通,,圓環(huán)內(nèi)部－雙連通,17,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,平面運動時，不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：,,,速度勢函數(shù)滿足二維坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程,18,,三、流函數(shù)由連續(xù)性方程：,存在一個函數(shù)，　　　　滿足：,稱為流函數(shù),M與M0分別為流場中任意兩點,19,,流函數(shù) 滿足下列性質(zhì)：,1) 流函數(shù)可允許相差一任意常數(shù)，而不影響流體的運動；2) 　　　　　常數(shù)是流線，它的切線方向和速度矢量的方向

8、重合：,根據(jù)定義，流線方程為：,,,,,,常數(shù)是流線,20,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,3) 通過曲線NN0的流量等于這兩點處流函數(shù)的差值：,N與N0分別為流場中任意兩點,21,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,3) 通過曲線MM0的流量等于這兩點處流函數(shù)的差值：,22,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,3) 通過曲線MM0的流量等于這兩點處流函數(shù)的差值：,曲線積分,坐標(biāo)積分,全微分函數(shù)的積分,與積分路徑無關(guān),2

9、3,,第二節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動,4) 在單連通區(qū)域內(nèi)若不存在源匯，則,因此流函數(shù)是單值函數(shù)。,平面無旋運動時，,,,流函數(shù)滿足二維坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程,24,,四、復(fù)位勢與復(fù)速度對理想不可壓縮流體平面無旋運動，考慮速度勢函數(shù)與流函數(shù)：,勢函數(shù)與流函數(shù)間的關(guān)系：哥西－黎曼條件,流線和等勢線正交,,,25,,四、復(fù)位勢與復(fù)速度構(gòu)造一個復(fù)函數(shù)：,定義復(fù)速度：,實部－速度勢函數(shù),虛部－流函數(shù),,26,,四、復(fù)位勢與復(fù)速度當(dāng)已

10、知共軛復(fù)速度，可求得復(fù)函數(shù)：,1) 復(fù)函數(shù)可允許相差一任意常數(shù)，而不影響流體的運動；2) w(z)=常數(shù)等價于流函數(shù)和速度勢分別等于常數(shù)，它們分別代表等勢線和流線，且二者正交：,復(fù)位勢的性質(zhì),3) 共軛復(fù)速度沿封閉回線C的積分，其實數(shù)部分為沿該封閉回線的速度環(huán)量，而虛數(shù)部分則為通過封閉回線C的流量。,4) 在無源無渦的單連通區(qū)域內(nèi)，w(z)是單值函數(shù)。,27,,第三節(jié)　理想不可壓縮流體平面無旋運動－基本流動形態(tài)及數(shù)學(xué)表達,平面無旋運

11、動,復(fù)位勢（解析函數(shù)）,,一一對應(yīng),基本解析函數(shù)的疊加,基本流動的組合,,,,,,,,28,,一、線性函數(shù)－均勻流,a是復(fù)數(shù),共軛復(fù)速度,流線族,等勢線族,29,,二、點源與點匯,a是實數(shù),用極坐標(biāo)下的復(fù)數(shù)表達式,流線族,等勢線族,30,,a是實數(shù),31,,a是實數(shù),點源,點匯,若點源不在坐標(biāo)原點而在z0點，則復(fù)位勢為：,32,,三、點渦,b是實數(shù),33,,三、點渦,b是實數(shù),點渦,若點渦不在坐標(biāo)原點而在z0點，則復(fù)位勢為：,34,,四

12、、倒數(shù)函數(shù)－偶極子,m是實數(shù),35,,四、倒數(shù)函數(shù)－偶極子,m是實數(shù),36,,第四節(jié)　圓柱的無環(huán)量繞流,求解理想不可壓縮流體無旋運動,(1) 正問題：給定物體，求繞流問題的復(fù)位勢(解析函數(shù)),(2) 反問題：,給出復(fù)位勢，反過來研究什么的平面無旋運動與之對應(yīng),選擇基本流動的組合，并滿足給定的邊界條件,37,,第四節(jié)　圓柱的無環(huán)量繞流,圓柱定常繞流問題的解由下列兩個基本流動疊加起來：,(1) 速度為V∞（實數(shù)）的平行流；,(2) 矩為m，

13、軸線方向與來流相對的偶極子；,復(fù)位勢為：,38,,39,,Ψ＝0時，為零流線，即繞流的邊界線,,為圓柱定常繞流的流線,40,,41,,42,,圓柱表面的切向速度,,,43,,圓柱繞流的壓力分布,在流線上根據(jù)伯努力方程，忽略重力影響，z=常數(shù)得：,,44,,圓柱繞流的壓力分布,圓柱表面的壓力分布,45,,圓柱繞流的壓力分布,圓柱表面的壓力分布,46,,圓柱繞流的壓力分布,47,,48,,基本流動中渦旋，速度環(huán)量處處為零，稱為無環(huán)量繞流,壓

14、力沿圓周對稱分布，在x，y兩個方向的合力為零－在流動方向上阻力為零－與實際流動不符－達朗伯詳謬(1752),在粘性力的作用下，在圓柱面上壓力分布不對稱，沿流動方向有合力，即產(chǎn)生流動阻力。,49,,第五節(jié)　圓柱的有環(huán)量繞流,旋轉(zhuǎn)的圓柱，由于粘性的作用帶動周圍的氣體產(chǎn)生圓周運動，放在橫向的均勻平行氣流中，所組成的復(fù)合運動,50,,第五節(jié)　圓柱的有環(huán)量繞流,圓柱的無環(huán)量繞流,圓心處強度為－Γ(Γ>0)的點渦,復(fù)位勢：,51,,流函數(shù),勢