高等流體力學講義課件-流體力學的基本概念

1、第 一 章 流體力學的基本概念,1.1 連續(xù)介質假說,推導流體力學基本方程的兩條途徑,統(tǒng)計方法,把流體看作由運動的分子組成，認為宏觀現(xiàn)象起源于分子運動，運用力學定律和概率論預測流體的宏觀性質。對于偏離平衡態(tài)不遠的流體可推導出質量、動量和能量方程，給出輸運系數(shù)（μ，κ）的表達式。對于單原子氣體已有成熟理論，對多原子氣體和液體理論尚不完善。,連續(xù)介質方法,把流體看作連續(xù)介質，而忽略分子的存在，假設場變量（速度、密度、壓強等）在

2、連續(xù)介質的每一點都有唯一確定的值，連續(xù)介質遵守質量、動量和能量守恒定律，從而推導出場變量的微分方程組。流體力學采用連續(xù)介質的方法。流體微團描述流體中的點。,1.1 連續(xù)介質假說,推導流體力學基本方程的兩條途徑,連續(xù)介質方法,當流體分子的平均自由程遠遠小于流場的最小宏觀尺度時，可用統(tǒng)計平場的方法定義場變量如下：,在微觀上充分大統(tǒng)計平均才有確定的值；宏觀上充分小，統(tǒng)計平均才能代表一點的物理量變化。,1.1 連續(xù)介質假說,,,,連續(xù)介

3、質方法的適用條件,n為單位體積的分子數(shù)（特征微觀尺度是分子自由程），L為最小宏觀尺度。,在通常溫度和壓強下，邊長2微米的立方體中大約包含 2×108 個氣體分子或 2×1011 液體分子；在日常生活和工程中，絕大多數(shù)場合均滿足上述條件。連續(xù)介質方法無論對氣體和液體都適用。,1.1 連續(xù)介質假說,火箭穿越大氣層邊緣，微觀特征尺度接近宏觀特征尺度；研究激波結構，宏觀特征尺度接近微觀特征尺度。,連續(xù)介質方法失效場合

4、,1.1 連續(xù)介質假說,,流體質點,流體質點是流體力學學科研究的最小單元。當討論流體速度、密度等變量時，實際上是指流體質點的速度和密度。,由確定流體分子組成的流體團，流體由流體質點連續(xù)無間隙地組成，流體質點的體積在微觀上充分大，在宏觀上充分小。,1.1 連續(xù)介質假說,,,歐拉參考系,當采用歐拉參考系時，定義了空間的場。,著眼于空間點，在空間的每一點上描述流體運動隨時間的變化。獨立變量 x, y, z, t,,1.2 歐拉和

5、拉格朗日參考系,拉格朗日參考系,著眼于流體質點，描述每個流體質點自始至終的運動，即它的位置隨時間的變化，,式中 x0 , y0 , z0 是 t =t 0 時刻流體質點空間位置的坐標。獨立變量 x0 , y0 , z0 , t。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,T =T (x0 , y0 , z0 , t), ρ=ρ(x0 , y0 , z0 , t),在拉格朗日參考系中 x, y, z 不再是獨立變量，

6、 x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0),用 x0 , y0 , z0 來區(qū)分不同的流體質點，而用 t 來確定流體質點的不同空間位置。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,拉格朗日參考系,系統(tǒng),某一確定流體質點集合的總體。隨時間改變其空間位置、大小和形狀；系統(tǒng)邊界上沒有質量交換；始終由同一些流體質點

7、組成。在拉格朗日參考系中，通常把注意力集中在流動的系統(tǒng)上，應用質量、動量和能量守恒定律于系統(tǒng)，即可得到拉格朗日參考系中的基本方程組。,系統(tǒng)和控制體,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,控制體,流場中某一確定的空間區(qū)域，其邊界稱控制面。流體可以通過控制面流進流出控制體，占據(jù)控制體的流體質點隨時間變化。為了在歐拉參考系中推導控制方程，通常把注意力集中在通過控制體的流體上，應用質量、動量和能量守恒定律于這些流體，即可得到歐拉參考系中的基本方

8、程組。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,系統(tǒng)和控制體,通常力學和熱力學定律都是針對系統(tǒng)的，于是需要在拉格朗日參考系下推導基本守恒方程，而絕大多數(shù)流體力學問題又是在歐拉參考系下求解的，因此需要尋求聯(lián)系兩種參考系下場變量及其導數(shù)的關系式,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,系統(tǒng)和控制體,歐拉和拉格朗日參考系中的時間導數(shù),歐拉參考系：,某一空間點上的流體速度隨時間的變化，稱當?shù)貙?shù)或局部導數(shù)。,拉格朗日參考系：,在歐拉參考系下用 表

9、示流體質點的速度變化。,流體質點的速度隨時間變化，即加速度。,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,流體質點的物理量隨時間的變化率。物質導數(shù)又稱質點導數(shù)，隨體導數(shù)。設場變量 ，則 表示某一流體質點的 隨時間的變化，即一個觀察者隨同流體一起運動，并且一直盯著某一特定流體質點時所看到的 隨時間的變化。 是拉格朗日參考系下的時間導數(shù)。,物質導數(shù),1.2 歐拉和拉格朗日參考系,

10、在歐拉參考系下的表達式（在歐拉參考系下推導）,時刻，,時刻，,泰勒級數(shù)展開，,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,在歐拉參考系下的表達式（在拉格朗日參考系下推導）,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,是流體質點的某物理量，式中 x, y, z 是流體質點的坐標， x, y, z 不再是獨立變量，而是 x0 , y0 , z0 , t 的函數(shù)。,,矢量和張量形式的物質導數(shù),1.2 歐拉和拉格朗日參考系,稱對流導數(shù)或位變導數(shù)，流體物性隨空間坐標

11、變化而變化，當流體質點空間位置隨時間變化時，在流動過程中會取不同的 值，因此也會引起 的改變。,上式把拉格朗日參考系中的時間導數(shù)和歐拉參考系中的就地導數(shù)和對流導數(shù)聯(lián)系起來。,歐拉時間導數(shù)，稱局部導數(shù)或就地導數(shù)，表示空間某一點流體物理量隨時間的變化；,物質導數(shù)；,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,矢量和張量形式的物質導數(shù),例1.  拉格朗日變數(shù) (x0,y0,z0) 給出的流體運動規(guī)律為,,1)  &

12、#160;   求以歐拉變數(shù)描述的速度場；2)      問流動是否定常；3)      求加速度。,解:,1) 設速度場的三個分量是,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,2) 歐拉表達式中包括變量 t , 是不定常流動。,3）在歐拉參考系中求加速度,消去以上表達式中的拉格朗日變數(shù),,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,,

13、在拉格朗日參考系中求加速度,,1.2 歐拉和拉格朗日參考系,1 . 3　雷諾輸運定理,對系統(tǒng)體積分的隨體導數(shù),通常的力學和熱力學定理都是應用于系統(tǒng)的。,動量定理,1 . 3　雷諾輸運定理,設 是單位體積流體的物理分布函數(shù)，而 是系統(tǒng)體積內包含的總物理量，則,對系統(tǒng)體積分的隨體導數(shù),1 . 3　雷諾輸運定理,系統(tǒng)和CV 在初始時刻重合，CV固定不動,公式推導,,,,,,,,I

14、,II,III,CSI,CSIII,,,,,,,,,,,,1 . 3　雷諾輸運定理,,,,,,,,,I,II,III,CSI,CSIII,,,,,,,,,,,,公式推導,1 . 3　雷諾輸運定理,,系統(tǒng)中的變量N對時間的變化率;,固定控制體內的變量N對時間的變化率，由 的不定常性引起 ;,N 流出控制體的凈流率，由于系統(tǒng)的空間位置和體積隨時間改變引起 .,物理意義,1 . 3　雷諾輸運定理,,,,高斯公式，,1 . 3　雷

15、諾輸運定理,求在體積 中質量隨體導數(shù)。,,,例2. 一流場中流體的密度為 1,速度分布為,其中 a 為常數(shù),,解:,1 . 3　雷諾輸運定理,例3. 給定一流場的速度分布和密度分布為:,其中 , k為非零常數(shù)，求,1). 在流場中某點的流體密度隨時間的變化率；,2). 流體質點密度在運動過程中隨時間的變化率；,3). 在體積

16、中流體質量的隨體倒數(shù)。,解:,1),2),1 . 3　雷諾輸運定理,3),在體積 中流體質量為，,1 . 3　雷諾輸運定理,所以,1 . 3　雷諾輸運定理,考慮到,1.4　流線、跡線和脈線,1．流線,流場中的一條曲線，曲線上各點的速度矢量方向和曲線在該點的切線方向相同。,定常流動用一幅流線圖就可表示出流場全貌；非定常流動中，通過空間點的流體質點的速度大小和方向隨時間而變化，此時談到流線是指某一給定瞬時

17、的流線。,,,把時間當作常數(shù)積分以上方程組，即可得流線方程。電力線，磁力線，用于理論分析。,,,微分方程,1.4　流線、跡線和脈線,1．流線,積分上式，,初始條件，,（流線經過點 ）,消去 s 即可得到流線方程。,1．流線,參數(shù)方程,1.4　流線、跡線和脈線,解：,積分以上方程得，,由條件 時， 解出,消去 得，,例4.　設兩維流動,，

18、求通過（1，1）點的流線。,1.4　流線、跡線和脈線,由以方程可以看出，通過（1，1）點的流線隨時間變化而變化。若求 時通過（1，1）點的流線，讓以上方程中,1.4　流線、跡線和脈線,流體質點在空間運動時描繪出來的曲線。,在定常流動情況下，任何一個流體質點的跡線，同時也是一條流線，即質點沿不隨時間變化的流線運動。,2．跡線,1.4　流線、跡線和脈線,請注意在以上方程組中 是自變量。

19、 是流體質點的空間坐標，因此都是 的函數(shù)。,初始條件：,2．跡線,微分方程,1.4　流線、跡線和脈線,消去 得，,由條件 時 ，可解出,解：,積分得，,例5.　設兩維流動,，求 通過（1，1）點的跡線。,1.4　流線、跡線和脈線,從流場中的一個固定點向流場中連續(xù)地注入與流體密度相同的染色液，該染色液形成一條纖細色線，稱為脈線。或另定義如下，把相繼經過流

20、場同一空間點的流體質點在某瞬時連接起來得到的一條線。,脈線又稱煙線，染色線。,3．脈線,1.4　流線、跡線和脈線,初始條件，,求 ? 時刻從點 進入流場的流體質點的跡線方程。,3．脈線,1.4　流線、跡線和脈線,求脈線方程,τ 固定，t 變化（ ）時，τ 時刻由點 ( x0 , y0 , z0 )注入流場的一個流體質點的跡線； t 固定, τ 變化（

21、 ）時，t 瞬時前的不同時刻經由 ( x0 , y0 , z0 ) 點注入流場的不同流體質點在 t 時刻的不同空間位置，即脈線。因此當 τ 取 的值時，上述方程即給出 t 時刻的脈線。,3．脈線,1.4　流線、跡線和脈線,求脈線方程,積分上述方程得，,由條件 時 x = y = 1 可解出，,解：,積分得，,例6.　設兩維流動,，求通過（1，1）點的脈線。,以上即通過（1，

22、1）點的脈線參數(shù)方程。顯然在不同時刻（t 取不同值時）脈線形狀也不同。,1.4　流線、跡線和脈線,,在 時刻，,消去 得，,1.4　流線、跡線和脈線,在非定常流動條件下，三種曲線一般是不重合的。在定常流動條件下，三種曲線合而為一。,1.4　流線、跡線和脈線,在流場內作一非流線且不自相交的封閉曲線，在某一瞬時通過該曲線上各點的流線構成一個管狀表面，稱流管。若流管的橫截面無限小，則稱流管元。

23、流管表面由流線組成，所以流體不能穿過流管側面流進流出，而只能從流管一端流入，而從另一端流出。,4．流管,1.4　流線、跡線和脈線,為流場中一流體質點， 為 點鄰域內另一任意流體質點，如果速度場已知，則同一瞬時上述 點對于 點的相對運動速度 可計算如下：,1.5  速度分解定理,速度梯度張量,1.5  速度分解定理,速度梯度張量分解為

24、兩個張量,1.5  速度分解定理,只有6個獨立分量，除對角線元素外，非對角線元素兩兩對應相等，可表示為 ，是一個對稱張量。該張量描述流體微團的變形運動。,速度梯度張量分解為兩個張量,應變率張量,1.5  速度分解定理,只有3個獨立分量，對角線元素為零，非對角線元素兩兩互為負數(shù)，可表示為 ，是一個反對稱張量。該張量描述流體微團的旋轉運動。,速度梯

25、度張量分解為兩個張量,旋轉率張量,1.5  速度分解定理,旋轉率張量,反對稱張量 只有三個獨立分量，可看作一個矢量的三個分量，,1.5  速度分解定理,以 間的位移 和旋轉張量 相乘，,旋轉率張量,1.5  速度分解定理,表示由于流體微團繞瞬時軸旋轉而產生的 點相對于M 點的速度變化。,表示由于流體微團變形而產生的 點相對于M點的速度變化。,,,,1

26、.5  速度分解定理,速度分解定理,應變率張量和旋轉率張量各分量的意義,,相對伸長率,只有,是 x 向直線相對伸長率。,y 和 z 向直線相對伸長率，,1.5  速度分解定理,應變率張量的對角線分量分別表示流體微團沿各坐標軸方向的直線相對伸長率,速度梯度項同時有,只有,應變率張量和旋轉率張量各分量的意義,1.5  速度分解定理,相對體積膨脹率,應變率張量的對角線分量之和表示流體微團的相對體積膨脹率。,

27、同樣可推得，,應變率張量和旋轉率張量各分量的意義,1.5  速度分解定理,旋轉角速度,,流體微團繞 X 軸和 Y 軸旋轉的角速度，,,定義流體線OA和OB的角速度 和 的平均值為流體微團繞 Z 軸旋轉的角速度（逆時針為正）,1.5  速度分解定理,應變率張量和旋轉率張量各分量的意義,旋轉角速度,角速度矢量,與旋轉率張量對應的矢量 表示流體微團繞其內部某一瞬時軸旋

28、轉的角速度， 等于速度旋度的二分之一。,1.5  速度分解定理,應變率張量和旋轉率張量各分量的意義,旋轉角速度,,OA 和 OB 間夾角減小了,令減小為正，X 軸和 Y 軸間夾角變形率，,同樣可推得Z 軸和 X 軸間，Y 軸和 Z 軸間夾角的變形率分別為，,應變率張量和旋轉率張量各分量的意義,1.5  速度分解定理,角變形率,應變率張量的非對角線分量表示流體微團的角變形率。,velocity gradie

29、nt tensor， 速度梯度張量rate-of-deformation tensor 應變率張量rate-of-rotation tensor 旋轉率張量,I.G.CurrieDeformation-rate tensorRate-of-shearing tensorRate-of-rotation tensor,1)     渦量2)  

30、    應變率張量 3)      旋轉率張量4)      變形速度 和旋轉速度,例7.設平面剪切運動的速度分布為,試求:,解:,1),2),,,,,,,,3),4),5),以上結果表明一個平面剪切運動可以分解為一個剪切變形運動和一個旋轉運動,可以用下圖直觀的表示。,,,,,,,,,,,1.

31、6　速度環(huán)量和渦量,速度環(huán)量,速度環(huán)量是流體繞封閉曲線旋轉強度的度量，線積分沿逆時針方向進行。,渦量,1.6　速度環(huán)量和渦量,渦量,1.6　速度環(huán)量和渦量,流場內處處 的流動稱無旋流，或稱勢流。 的流動則稱有旋流動。,渦量是流體微團繞其內部一瞬時軸作旋轉運動的角速度的二倍，,渦量與流體微團自身的旋轉角速度成正比，而與流體微團重心圍繞某一參考中心作圓周運動的角速度無關。

32、流動是否有旋與流體質點的運動軌跡無關。一個作圓周運動的流體微團可能渦量為零。,Stokes定理,渦通量：,Stokes定理：,1.6　速度環(huán)量和渦量,S,1.7　渦旋的運動學特性,渦管和微元渦管,渦線，流場中的一條曲線，曲線上各點的渦量矢量方向和曲線在該點的切線方向相同。,渦管，在流場內作一非渦線且不自相交的封閉曲線，在某瞬時通過該曲線上各點的渦線組成一管狀表面，稱渦管。渦管橫截面無限小時稱微元渦管。,,矢量恒等式，,渦旋場內無源無匯。

33、,渦旋場是無源場,1.7　渦旋的運動學特性,速度散度是流出單位體積控制體的體積流量。有源或有匯。,由 ，對圖示渦管，,對一個確定的渦管，它的任一橫截面上的渦通量是一個常數(shù)。該常數(shù)稱為渦管強度。,渦管的運動學特性,1.7　渦旋的運動學特性,沿渦管每一橫截面的包圍曲線的速度環(huán)量相等。,由Stokes定理,渦管的運動學特性,1.7　渦旋的運動學特性,渦線和渦管都不能在流體內部中斷,由于渦旋場是無源場，可以推斷，渦線和渦管都

34、不能在流體內部中斷。( 如果發(fā)生中斷，則在中斷處取封閉曲面，通過封閉曲面的渦通量將不為零，與無源場事實相矛盾 )。,渦線和渦管只能在流體中自行封閉，形成渦環(huán)，或將其頭尾搭在固壁或自由面，或延伸至無窮遠。,1.7　渦旋的運動學特性,下標 表示面元 的法線方向。,1.8　應力張量,應力矢量,應力矢量方向與法線方向不一定重合。,，正側流體對負側流體的作用應力；,，負側流體對正側流體的作用應力。,應力矢量,1.8　應力張量,

35、,應力矢量,1.8　應力張量,應力矢量的投影,應力的雙下標表示法：第 1 個下標表示應力所在平面的法線方向，第 2 個下標表示應力投影方向。,1.8　應力張量,應力矢量,應力矢量的投影,過空間一點的三個相互垂直平面（可取三個坐標平面）上的應力矢量或它們的九個分量完全描寫了一點的應力狀態(tài)。,一點的應力狀態(tài),1.8　應力張量,應力矢量,取四面體流體元，,應力矢量與應力張量,1.8　應力張量,慣性力，　重力，　　表面力，,達朗貝爾原理

36、：作用于四面體上的質量力（重力），表面力和慣性力及其力矩應該平衡。,當 ，重力、慣性力為三階無窮小量，表面力為二階無窮小量，因此僅需考慮表面力作用，忽略慣性力和重力影響。,應力矢量與應力張量,1.8　應力張量,應力矢量與應力張量,1.8　應力張量,應力矢量與應力張量,1.8　應力張量,應力張量 與 無關，而只是空間點位置和時間的函數(shù)，由九個分量（6個獨立分量）組成的應力張量完全表達了給定時刻一點的

37、應力狀態(tài)。,或,稱應力張量,應力張量的對角線元素為法向應力分量，非對角線元素為切向應力分量。,應力張量,1.8　應力張量,直角坐標系中一點的應力張量分量,應力張量是對稱張量,作用在四面體上的表面力的合力矩等于零。,應力張量是對稱張量,同理可證，,應力張量的九個分量中只有六個是相互獨立的。,例8.流體內某處的應力張量可表示為,試求作用于平面 外側（離開原點一側）的應力矢量

38、及應力矢量的法向和切向分量。,解:,求該平面外側的法向單位矢量，,1.8　應力張量,1.8　應力張量,同一點各個不同方向上的法向應力是相等的;取 是強調壓強與作用面的法線方向是相反的;在理想流體或靜止流體中，只要用一個標量函數(shù)即壓力函數(shù) 便完全地描述了一點上的應力狀態(tài)。,1.9　理想流體與靜止流體的應力張量,一點的應力狀態(tài),在理想流體或靜止流體中切應力為零,理想流體與靜止流體的應力張量,1.9　理想

39、流體與靜止流體的應力張量,例9.圓球表面應力如下,,求圓球所受的力，以上表達中， 為無窮遠處壓強和流體速度， 為動力粘性系數(shù) ， a 為圓球半徑。,球坐標和直角坐標關系,,解:,又解 :,圓柱坐標中的應力分量,例10. 試求圖示圓柱坐標系微元體所受表面力的合力。計算中可取每個表面中心的應力作為該表面的平均應力。已知單位矢量 和 均是θ的函數(shù)，且 ,微元體中心的應力張量已知。

40、,解:,同理,整理得,,,,,,,,,,,,第一章,(1) 求其加速度的歐拉描述；(2) 先求矢徑表示式 ,再由此求加速度的拉 格朗日描述；(3) 求流線及跡線。,1.1　設速度場,1.2　設,求應變率張量及旋轉率張量。,1.3 在 P 點的應力張量如下,練習題,求 (1) 某點單位法向矢量為,的平面上的應力矢量 。,(2) 應力矢量在法向的分

41、量；,(3) 與 之間的夾角。,求各切應力。,1.4　設流動速度分布為,粘度系數(shù)為,1.5 (教科書 2.4 ，(2.3))已知流場,(1) 沿下邊給出的封閉曲線積分求速度環(huán)量,,(2) 求渦量 ，然后求　　　　　式中 A 是 (1) 中給出的矩形面積， 是此面積的外單位法線矢量。,1.6 計算下列二維流場在任意點 的渦量，(1). (2)上式中