雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索

1、雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索雙曲線中焦點(diǎn)三角形的探索基本條件：基本條件：1：該三角形一邊長為焦距2c，另兩邊的差的約對值為定值2a。2：該三角形中由余弦定理得結(jié)合定義，有||||2||||||cos21221222121PFPFFFPFPFPFF???????||||24||||2||||||||212212212221PFPFaPFPFPFPFPFPF????????性質(zhì)一、性質(zhì)一、設(shè)若雙曲線方程為設(shè)若雙曲線方程為2222xy1ab??（

2、a＞0，b＞0），F(xiàn)1F2F1F2分別為它的左右焦點(diǎn)，分別為它的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則有：為雙曲線上任意一點(diǎn)，則有：若12FPF???則122FPFSbcot2??A；特別地，當(dāng)；特別地，當(dāng)12FPF90???時，有時，有122FPFSb?A。證明：記2211||||rPFrPF??，由雙曲線的定義得.4)(2222121arrarr?????在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr????配

3、方得：.4cos22)(22121221crrrrrr?????即.4)cos1(242212crra????.cos12cos1)(222221????????bacrr由任意三角形的面積公式得：2cot2sin22cos2sin2cos1sinsin2122222121????????????????bbbrrSPFF..2cot221?bSPFF???特別地，當(dāng)?＝?90時，2cot?＝1，所以122FPFSb?A同理可證，在雙曲

4、線12222??bxay（a＞0，b＞0）中，公式仍然成立.????22221212121201212222221cos60222PFPFPFPFPFPFFFPFPFPFPF?????????12||||PFPF?A4【解析2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：120220121260113cot1cot3sin6022222FPFSbPFPFPFPF???????12||||PFPF?A4性質(zhì)一推論：在雙曲線性質(zhì)一推論：在雙曲線12222??b

5、yax（a＞0，b＞0）中，左右焦點(diǎn)分別為）中，左右焦點(diǎn)分別為1F、2F，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若???21FPF，則，則??cossin221cacbSPFF???.特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)???9021FPF時，有時，有acbSPFF221??。當(dāng)點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若???21FPF（??雙曲線漸近線的傾斜角）雙曲線漸近線的傾斜角），則，則accbSPFF

6、?????cossin221證明：i、當(dāng)P為左支上一點(diǎn)時，記2211||||rPFrPF??（21rr?），由雙曲線的定義得arrarr221212????，在△21PFF中，由余弦定理得：.cos44221221rcrcr????代入得.)2(cos44211221arcrcr?????求得?cos21cabr??。?????cossinsin2cos21sin212221121cacbccabFFrSPFF????????得證特別地