巧用圓系方程 簡化解題過程

1、巧用圓系方程簡化解題過程四川省眉山中學校謝維勇在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構成一個圓系，一個圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：⑴以為圓心的同心圓系方程⑵過直線與圓的交點的圓系方程⑶過兩圓和圓的交點的圓系方程此圓系方程中不包含圓，直接應用該圓系方程，必須檢驗圓是否滿足題意，謹防漏解。當時，得到兩圓公共弦所在直線方程為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程在遇

2、到過直線與圓，圓與圓交點的圓有關問題時，靈活選取上述各種圓系方程，可簡化繁雜的解題過程?，F(xiàn)不妨舉兩例簡要說明。例1：已知圓與直線相交于兩點，為坐標原點，若，求實數(shù)的值。分析：此題最易想到設出，由得到，利用設而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關系得出關于的方程，最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點，選取過直線與圓交點的圓系方程，可極大地簡化運算過程。解：過直線與圓的交點的圓系方程為：，

3、即………………….①依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則故例2：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程。分析：本題若先聯(lián)立方程求交點，再設所求圓方程，尋求各變量關系，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為，即過直線與圓的交點的圓系方程為，即