高中數(shù)學(xué)圓的方程(含圓系)典型題型歸納總結(jié)

1、1高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)類(lèi)型一：巧用圓系求圓的過(guò)程類(lèi)型一：巧用圓系求圓的過(guò)程在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個(gè)圓系，一個(gè)圓系所具有的共同形式的方程稱(chēng)為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：⑴以為圓心的同心圓系方程為圓心的同心圓系方程⑵過(guò)直線過(guò)直線與圓與圓的交點(diǎn)的圓系方程的交點(diǎn)的圓系方程⑶過(guò)兩圓過(guò)兩圓和圓和圓的交點(diǎn)的交點(diǎn)的圓系方程的圓系方程此圓系方程中不包含圓此圓系方程中不包含圓，直接應(yīng)用該

2、圓系方程，必須檢驗(yàn)圓，直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗(yàn)圓是否滿足題意，是否滿足題意，謹(jǐn)防漏解。謹(jǐn)防漏解。當(dāng)時(shí)，得到兩圓公共弦所在直線方程時(shí)，得到兩圓公共弦所在直線方程例1：已知圓：已知圓與直線與直線相交于相交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的值。的值。分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為

3、直線與圓的交點(diǎn)，選取過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。解：過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即………………….①依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得又滿足方程①，則故例2：求過(guò)兩圓：求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。解：圓和的公共弦方程為，即過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即3點(diǎn)設(shè)所求直線為043???myx，則1431122????md，∴511???m，即6??m，

4、或16??m，也即06431???yxl：，或016432???yxl：設(shè)圓9)3()3(221????yxO：的圓心到直線1l、2l的距離為1d、2d，則34363433221???????d，143163433222???????d∴1l與1O相切，與圓1O有一個(gè)公共點(diǎn)；2l與圓1O相交，與圓1O有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)說(shuō)明：說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心1O到直線01143???yx的距離為d，則324

5、311343322????????d∴圓1O到01143???yx距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)顯然，上述誤解中的d是圓心到直線01143???yx的距離，rd?，只能說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1類(lèi)型三：圓中的最值問(wèn)題類(lèi)型三：圓中的最值問(wèn)題例7：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是0104422?????yxyx014???yx解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離18)2()2(22????y

6、x23?r，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是rd???25210.262)()(?????rrdrd例8(1)已知圓1)4()3(221????yxO：，)(yxP為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求22yxd??的最大、最小值(2)已知圓1)2(222???yxO：，)(yxP為圓上任一點(diǎn)求12??xy的最大、最小值，求yx2?的最大、最小值分析：分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解

7、決解：解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1)4()3(22????yx可設(shè)圓的參數(shù)方程為???????sin4cos3??yx（?是參數(shù)）則????2222sinsin816coscos69????????yxd)cos(1026sin8cos626??????????（其中34tan??）所以361026max???d，161026min???d(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值1d等于圓心到原點(diǎn)的距離1d加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最

8、小值2d等于圓心到原點(diǎn)的距離1d減去半徑1所以6143221????d4143222????d所以36max?d16min?d(2)(法1)由1)2(22???yx得圓的參數(shù)方程：???????sincos2??yx?是參數(shù)則3cos2sin12???????xy令t???3cos2sin??，得tt32cossin?????，tt32)sin(12??????1)sin(1322????????tt433433?????t所以433m