相似三角形難題集錦(含答案)

1、一、相似三角形中的動點(diǎn)問題一、相似三角形中的動點(diǎn)問題1.1.如圖，在如圖，在Rt△ABCRt△ABC中，中，∠ACB=90∠ACB=90，AC=3AC=3，BC=4BC=4，過，過點(diǎn)B作射線作射線BB1∥ACBB1∥AC動點(diǎn)動點(diǎn)D從點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿射線出發(fā)沿射線ACAC方向方向以每秒以每秒5個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)E從點(diǎn)從點(diǎn)C沿射線沿射線ACAC方向以每秒方向以每秒3個單位的速度運(yùn)動過點(diǎn)個單位的速度運(yùn)動過點(diǎn)D作

2、DH⊥ABDH⊥AB于H，過點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥ACEF⊥AC交射線交射線BB1BB1于F，G是EFEF中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接連接DGDG設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時間為運(yùn)動的時間為t秒秒（1）當(dāng)）當(dāng)t為何值時，為何值時，AD=ABAD=AB，并求出此時，并求出此時DEDE的長度；的長度；（2）當(dāng)）當(dāng)△DEG△DEG與△ACB△ACB相似時，求相似時，求t的值的值2.2.如圖，在如圖，在△ABC△ABC中，中，ABCABC＝9090，AB=6mAB=6m

3、，BC=8mBC=8m，動點(diǎn)，動點(diǎn)P以2ms2ms的速度從的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿點(diǎn)出發(fā)，沿ACAC向點(diǎn)向點(diǎn)C移動同時，動點(diǎn)移動同時，動點(diǎn)Q以1ms1ms的速度從速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿點(diǎn)出發(fā)，沿CBCB向點(diǎn)向點(diǎn)B移動當(dāng)其中有一點(diǎn)到移動當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，它們都停止移動設(shè)移動的時間為達(dá)終點(diǎn)時，它們都停止移動設(shè)移動的時間為t秒秒（1）①當(dāng)t=2.5st=2.5s時，求時，求△CPQ△CPQ的面積；的面積；②求△CPQ△CPQ的面積的面積S（平方

4、米）關(guān)于時間（平方米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)（秒）的函數(shù)解析式；解析式；（2）在）在P，Q移動的過程中，當(dāng)移動的過程中，當(dāng)△CPQ△CPQ為等腰三角形時，為等腰三角形時，求出求出t的值的值3.3.如圖如圖1，在，在Rt△ABCRt△ABC中，中，ACBACB＝9090，ACAC＝6，BCBC＝8，點(diǎn)，點(diǎn)D在邊在邊ABAB上運(yùn)動，上運(yùn)動，DEDE平分平分CDBCDB交邊BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)E，EM⊥BDEM⊥BD，垂足為，垂足為M，EN⊥CD

5、EN⊥CD，垂足為，垂足為N（1）當(dāng)）當(dāng)ADAD＝CDCD時，求證：時，求證：DE∥ACDE∥AC；（2）探究：）探究：ADAD為何值時，為何值時，△BME△BME與△CNE△CNE相似？相似？4.4.如圖所示，在如圖所示，在△ABC△ABC中，中，BABA＝BCBC＝20cm20cm，ACAC＝30cm30cm，點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著點(diǎn)出發(fā)，沿著ABAB以每秒以每秒4cm4cm的速度向的速度向B點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從C點(diǎn)出

6、發(fā)，沿點(diǎn)出發(fā)，沿CACA以每秒以每秒3cm3cm的速度向的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時，點(diǎn)時，Q點(diǎn)隨之點(diǎn)隨之停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時間為停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時間為x（1）當(dāng)）當(dāng)x為何值時，為何值時，PQ∥BCPQ∥BC？（2）△APQ△APQ與△CQB△CQB能否相似？若能，求出能否相似？若能，求出APAP的長；的長；若不能說明理由若不能說明理由5.5.如圖，在矩形如圖，在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12c

7、m，BC=6cmBC=6cm，點(diǎn)，點(diǎn)P沿ABAB邊從邊從A開始向點(diǎn)開始向點(diǎn)B以2cms2cms的速度移動；點(diǎn)的速度移動；點(diǎn)Q沿DADA邊從點(diǎn)邊從點(diǎn)D開始向開始向點(diǎn)A以1cms1cms的速度移動如果的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（）表示移動的時間（0＜t＜6）。（1）當(dāng)）當(dāng)t為何值時，為何值時，△QAP△QAP為等腰直角三角形？為等腰直角三角形？（2）當(dāng)）當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)為何值時，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)

8、的三角形為頂點(diǎn)的三角形與△ABC△ABC相似？相似？二、構(gòu)造相似輔助二、構(gòu)造相似輔助線——雙垂直模型雙垂直模型6.6.在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，點(diǎn)中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2(2，1)1)，正比例函數(shù)正比例函數(shù)y=kxy=kx的圖象與線段的圖象與線段OAOA的夾角是的夾角是4545，求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式7.7.在△ABC△ABC中，中，AB=AB=，AC=4AC=4，BC=2BC=2，以

9、，以ABAB為邊在為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作點(diǎn)的異側(cè)作△ABD△ABD，使△ABD△ABD為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，求線段求線段CDCD的長的長離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的（注：重心是三角形（注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）三條中線的交點(diǎn)）（2）角平分線定理：三角形一個）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例應(yīng)成比例四、相

10、似類定值問題四、相似類定值問題16.16.如圖，在等邊如圖，在等邊△ABC△ABC中，中，M、N分別是邊分別是邊ABAB，ACAC的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，D為MNMN上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，BDBD、CDCD的延長線分別交的延長線分別交ACAC、ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)E、F求證：求證：17.17.已知：如圖，梯形已知：如圖，梯形ABCDABCD中，中，ABDCABDC，對角線，對角線ACAC、BDBD交于交于O，過，過O作EFABEFAB分別交分別交

11、ADAD、BCBC于E、F。求證：求證：18.18.如圖，在如圖，在△ABC△ABC中，已知中，已知CDCD為邊為邊ABAB上的高，正方形上的高，正方形EFGHEFGH的四個頂點(diǎn)分別在四個頂點(diǎn)分別在△ABC△ABC上。上。求證：求證：19.19.已知，在已知，在△ABC△ABC中作內(nèi)接中作內(nèi)接菱形菱形CDEFCDEF，設(shè)菱形的邊長為，設(shè)菱形的邊長為a求證：求證：五、相似之共線線段的比例問題五、相似之共線線段的比例問題20.20.（1）如

12、圖）如圖1，點(diǎn)，點(diǎn)在平行在平行四邊形四邊形ABCDABCD的對角線的對角線BDBD上，上，一直線過點(diǎn)一直線過點(diǎn)P分別交分別交BABA，BCBC的延長線于點(diǎn)延長線于點(diǎn)Q，S，交，交于點(diǎn)于點(diǎn)求證：求證：（2）如圖）如圖2，圖，圖3，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD的對的對角線角線或的延長線上時，的延長線上時，是否仍是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖