高中數(shù)學競賽標準講義第1章集合與簡易邏輯

1、2010高中數(shù)學競賽標準講義：第一章：集合與簡易邏輯高中數(shù)學競賽標準講義：第一章：集合與簡易邏輯一、基礎知識定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素x在集合A中，稱x屬于A，記為Ax?，否則稱x不屬于A，記作Ax?。例如，通常用N，Z，Q，B，Q分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用?來表示。集合

2、分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù)，0?xx分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。定義2子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為BA?，例如ZN?。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子

3、集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3交集，.BxAxxBA???且?定義4并集，.BxAxxBA???或?定義5補集，若1AxIxxACIA????且則稱為A在I中的補集。定義6差集，BxAxxBA???且。定義7集合baRxbxax????記作開區(qū)間)(ba，集合baRxbxax????記作閉區(qū)間][ba，R記作).(????定理1集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：（1）)()()(CABACBA??????（2

4、）)()()(CABACBA??????；（3）)(111BACBCAC???（4）).(111BACBCAC???【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若)(CBAx???，則Ax?，且Bx?或Cx?，所以)(BAx??或)(CAx??，即)()(CABAx????；反之，)()(CABAx????，則)(BAx??或)(CAx??，即Ax?且Bx?或Cx?，即Ax?且)(CBx??，即).(CBAx???（3）若

5、BCACx11??，則ACx1?或BCx1?，所以Ax?或Bx?，所以)(BAx??，又Ix?，所以)(1BACx??，即)(111BACBCAC???，反之也有.)(111BCACBAC???定理2加法原理：做一件事有n類辦法，第一類辦法中有1m種不同的方法，第二類辦法中有2m種不同的方法，…，第n類辦法中有nm種不同的方法，那么完成這件事一共有nmmmN?????21種不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分n個步驟，第一步有1m種不

6、同的方法，第二步有2m種不同的方法，…，第n步有nm種不同的方法，那么完成這件事一共有nmmmN?????21種不同的方法。二、方法與例題1利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬于集合。例1設22ZyxyxaaM????，求證：一對子集未出現(xiàn)，設為C1A與A，并設??1AA?，則ACA11?，從而可以在k個子集中再添加AC1，與已知矛盾，所以12??nk。綜上，12??nk。6競賽常用方法與例問題。定理4容斥原理；用A表示集合A的元素個數(shù)

7、，則BABABA?????CBACBCABACBACBA??????????????，需要xy此結(jié)論可以推廣到n個集合的情況，即??????????????nikjijinkjijiiniiAAAAAAA111????.)1(11??niinA?????定義8集合的劃分：若IAAAn?????21，且)1(jinjiAAji??????，則這些子集的全集叫I的一個n劃分。定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6抽屜原理

8、：將1?mn個元素放入)1(?nn個抽屜，必有一個抽屜放有不少于1?m個元素，也必有一個抽屜放有不多于m個元素；將無窮多個元素放入n個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。例6求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)?！窘狻坑洠?（21001100321xxxxAI記為整除能被且?????，5100131001xxxCxxxB??????，由容斥原理，??????????????????????31002100CBAACCB

9、BACBACBA???????7430100151001010061005100???????????????????????????????????，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有26??CBAI??個。例7S是集合1，2，…，2004的子集，S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于S，將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其

10、中一組只有一個數(shù)，若S含有這11個數(shù)中至少6個，則必有兩個數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個數(shù)。又因為2004=182112，所以S一共至多含有18252=912個元素，另一方面，當200410742111NkrttkrrS??????時，恰有912?S，且S滿足題目條件，所以最少含有912個元素。例8求所有自然數(shù))2(?nn，使得存在實數(shù)naaa21?滿足：.2)1(211??????nnnjiaaji?【解】當2?n時，