高數(shù)-極限求解方法與技巧總結(jié)

1、第一章極限論極限可以說(shuō)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的核心，貫穿高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。因?yàn)橛嘘P(guān)函數(shù)的可積、連續(xù)?？蓪?dǎo)等性質(zhì)都是用極限來(lái)定義的。毫不夸張地說(shuō)，所謂高數(shù)，就是極限。衡量一個(gè)人高等數(shù)學(xué)的水平只需看他對(duì)極限的認(rèn)識(shí)水平，對(duì)極限認(rèn)識(shí)深刻，有利于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，本章將介紹數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及極限的求解。重點(diǎn)是求極限。?????????????極限的定義數(shù)列極限極限的性質(zhì)函數(shù)極限的定義函數(shù)極限函數(shù)極限的性質(zhì)一、求極限的方法1.利用單調(diào)有界原理單調(diào)有

2、界原理：若數(shù)列具有單調(diào)性、且有有界性，也即單調(diào)遞增有上界、單調(diào)遞減有下界，則該數(shù)列的極限一定存在。可以說(shuō)，整個(gè)高等數(shù)學(xué)是從該結(jié)論出發(fā)來(lái)建立體系的。利用該定理一般分兩步：1、證明極限存在。2、求極限。說(shuō)明：對(duì)于這類問(wèn)題，題中均給出了數(shù)列的第項(xiàng)和第項(xiàng)的關(guān)系式，首先n1n?用歸納法或作差法或作商法等證明單調(diào)性，再證明其有界性（或先證有界、再證單調(diào)性），由單調(diào)有界得出極限的存在性，在最終取極限。例1設(shè)證的極限存在，并求其極限。01100()01

3、2nnnaaxxxnx??????，…??nx分析：本題給出的是數(shù)列前后兩項(xiàng)的關(guān)系，所以應(yīng)該用單調(diào)有界原理求解。解：由基本不等式，，所以可知數(shù)列有下界；下面證單11()2nnnaxxax????nx調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，有，則單調(diào)遞減。綜2n?2111()()22nnnnnnnxaxxxxxx??????nx合可得，則單調(diào)遞減有下界，所以存在；令，帶入等式解得nxlimnnx??limnnxA???。Aa?評(píng)注評(píng)注：對(duì)于該題，再證明有界性的過(guò)

4、程中用到基本不等式；特別是在證明單調(diào)列單調(diào)且其有相同的極限值，則原數(shù)列也有極限。下面以例子說(shuō)明。例3設(shè)證明收斂，并求之。1113.1nnaanNa???????na分析：首先可知，可知并不單調(diào)，但可以考慮奇12341453459aaaa????na子列和偶子列。證明：用數(shù)歸法證明單調(diào)性。（1）由，知成立。13aa?1k?（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立21nk??2121kkaa???（3）則有當(dāng)時(shí)，23nk?212123212121212111

5、1111221111kkkkkkkkaaaaaaaa?????????????????????所以，當(dāng)時(shí)也成立。其奇子列單調(diào)遞減。23nk??由于，而，且，所以有。則其奇子列單調(diào)0na?1111nnaa????13a?04na??遞減且有下界。同理可證，偶子列單調(diào)遞增且有上界，由單調(diào)有界原理可知，奇、偶子列的極限均存在，不妨設(shè)為和。則有，解得AB1111ABBA???????????512AB???評(píng)析：在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明單調(diào)性的過(guò)程

6、中用到了是增函數(shù)這一1()2tftt???性質(zhì)，當(dāng)然，數(shù)學(xué)歸納法證明單調(diào)性也并不是唯一的方法，下面用作差法證明：222221122(2)(2)nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa????????????????所以可知與的符號(hào)相同，由于則；同2nnaa??2nnaa??310aa??21210kkaa????理，則。即奇子列單調(diào)遞減，偶子列單調(diào)遞增。420aa??2220kkaa???這樣的討論顯然比較繁瑣，有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的方法呢？當(dāng)