《高等數(shù)學(xué).同濟(jì)五版》講稿word版-第03章-中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)教案3中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組第三章第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：教學(xué)目的：1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3、會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、掌握用洛必達(dá)法

2、則求未定式極限的方法。5、知道曲率和曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑。6、知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪；4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。3?1中值定理中值定理一、羅爾定理一、羅爾定理費(fèi)馬引

3、理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義?并且在x0處可導(dǎo)?如果對任意x?U(x0)?有f(x)?f(x0)(或f(x)?f(x0))?那么f?(x0)?0?羅爾定理羅爾定理如果函數(shù)y?f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)?在開區(qū)間(ab)內(nèi)可導(dǎo)?且有f(a)?f(b)?那么在(ab)內(nèi)至少在一點(diǎn)??使得f?(?)?0?簡要證明?(1)如果f(x)是常函數(shù)?則f?(x)?0?定理的結(jié)論顯然成立?(2)如果f(x)不是常函數(shù)?則f(x

4、)在(a?b)內(nèi)至少有一個最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)?不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)??(a?b)?于是?0)()(lim)()(???????????????xfxfffx?0)()(lim)()(???????????????xfxfffx高等數(shù)學(xué)教案3中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重慶三峽學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組f(x2)?f(x1)?因?yàn)閤1?x2是I上任意兩點(diǎn)?所以上面的等式表明?f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的?這就是說?f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)?例2

5、?證明當(dāng)x?0時??xxxx????)1ln(1證設(shè)f(x)?ln(1?x)?顯然f(x)在區(qū)間[0?x]上滿足拉格朗日中值定理的條件?根據(jù)定理?就有f(x)?f(0)?f?(?)(x?0)?0?x。由于f(0)?0??因此上式即為xxf???11)(?????1)1ln(xx又由0???x?有?xxxx????)1ln(1三、柯西中值定理三、柯西中值定理設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程(a?x?b)?????)()(xfYxFX表示?其中x為參數(shù)

6、?如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線?那么在曲線C上必有一點(diǎn)x????使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB?曲線C上點(diǎn)x???處的切線的斜率為?)()(??FfdXdY???弦AB的斜率為?)()()()(aFbFafbf??于是?)()()()()()(??FfaFbFafbf?????柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?在開區(qū)間(a?b)內(nèi)可導(dǎo)?且F?(x)在(a?b)內(nèi)的