高等數(shù)學中值定理的題型與解題方法

1、高等數(shù)學中值定理的題型與解題方法高數(shù)中值定理包含：1.羅爾中值定理(rolle)2.拉格朗日中值定理(lagrange)3.柯西中值定理(cauchy)還有經常用到的泰勒展開式(tayl)其中，一定是開區(qū)間.()ab??全國考研的學生都害怕中值定理，看到題目的求解過程看得懂，但是自己不會做，這里往往是在構造函數(shù)不會處理，這里給總結一下中值定理所涵蓋的題型，保證拿到題目就會做。題型一：證明：題型一：證明：()0nf??基本思路，首先考慮的

2、就是羅爾定理(rolle)，還要考慮極值的問題。例1.在可導，，，()[]fxCab?()ab()()0fafb??()()02abfaf??證明：存在，使得.()ab??()0f??分析：由，，容易想到零點定理。()()0fafb??()()02abfaf??證明：，存在，使得，?()()02abfaf???1()2abxa??1()0fx?又，同號，，?()()0fafb???()()fafb?()()02abfbf??存在，使得，

3、?2()2abxb??2()0fx?，所以根據(jù)羅爾中值定理：存在，使得.?12()()0fxfx??()ab??()0f??例2.在內可導，，，()[03]fxC?(03)(0)(1)(2)3fff???(3)1f?證明：存在，使得(03)??()0f??證明：（1），在使得上有最大值和最小值，?()[03]fxC??()fx[03]Mm根據(jù)介值性定理，即?(0)(1)(2)3fffmM????1mM??存在，使得，?[03]c?()1

4、fc?（2），所以根據(jù)羅爾中值定理：存在，()(3)1fcf???(3)(03)c???使得.()0f??例3.在三階可導，，，()fx(03)[01]x?(1)0f?3()()Fxxfx?證明：存在，使得(01)??()0F??證明：（1），存在，使得，?(0)(1)0FF???1(01)??1()0F??2[ln()]0xfxe??證明：令，，2()()xxfxe???()()0fafb???()()0ab?????存在，使得，而(

5、)ab???()0???222()2()()[2()()]0xxxxfxefxeefxfx???????????2[2()()]0eff????????即存在，使得()ab??()2()0ff????例3.在上二階可導，，()fx[01](0)(1)ff?證明：存在，使得.(01)??2()()1ff?????分析：由，22()()2()0[ln()][ln(1)]01()1fxfxfxfxxxfxx??????????2[ln()(1

6、)]0fxx??證明：令，，使得，2()()(1)xfxx???(0)(1)(01)ffc?????()0fc?所以，又因為2()()(1)0cfcc????(1)0??()(1)0c?????由羅爾定理知，存在，使得.?(01)??2()()1ff?????記：①()()kxfkfxefx????②()()kfkfxxfx?????（2）分組構造法。分組構造法。①()()ff???()()0()()()()0fxfxfxfxfxfx?