復合函數(shù)單調(diào)性(講解+練習)

1、課題：函數(shù)的單調(diào)性課題：函數(shù)的單調(diào)性(二)復合函數(shù)單調(diào)性復合函數(shù)單調(diào)性北京二十二中劉青教學目標教學目標1.掌握有關復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四個引理.2.會求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.必須明確復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學重點與難點教學重點與難點1.教學重點是教會學生應用本節(jié)的引理求出所給的復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.教學難點是務必使學生明確復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學過程設計教學過程設計師：這節(jié)課我們將講復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，下面我們

2、先復習一下復合函數(shù)的定義.生：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若A?B，則y關于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復合函數(shù)，u叫中間量.師：很好.下面我們再復習一下所學過的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(教師把所學過的函數(shù)均寫在黑板上，中間留出寫答案的地方，當學生回答得正確時，由教師將正確答案寫在對應題的下邊.)(教師板書，可適當略寫.)例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.一次函數(shù)y=kxb(k≠0).解當k＞0時，(－∞，∞)是

3、這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當k＜0時，(－∞，∞)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.2.反比例函數(shù)y=xk(k≠0).解當k＞0時，(－∞，0)和(0，∞)都是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，當k＜0時，(－∞，0)和(0，∞)都是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3.二次函數(shù)y=ax2bxc(a≠0).解當a＞1時(－∞，－ab2)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，(－ab2，∞)是它的單調(diào)增區(qū)間；當a＜1時(－∞，－ab2)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，(－ab2，∞)是它的單調(diào)減區(qū)

4、間；4.指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1).解當a＞1時，(－∞，∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當0＜a＜1時，(－∞，∞)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.5.對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1).解當a＞1時，(0，∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當0＜a＜1時，(0，∞)是它的單調(diào)減區(qū)間.師：我們還學過冪函數(shù)y=xn(n為有理數(shù))，由于n的不同取值情況，可使其定義域分幾種情況，比較復雜，我們不妨遇到具體情況時，再具體分析.師：我們看看這個函

5、數(shù)y=2x22x1，它顯然是復合函數(shù)，它的單調(diào)性如何生：它在(－∞，∞)上是增函數(shù).師：我猜你是這樣想的，底等于2的指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，而此函數(shù)的定義域為(－∞，∞)，所以你就得到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數(shù)u=x22x1的存在，沒有考慮這個二次函數(shù)的單調(diào)性.咱們不難猜想復合函數(shù)的單調(diào)性應由兩個函數(shù)共同決定，但一時猜不準結(jié)論.下面我們引出并證明一些有關的預備定理.(板書)引理1已知函數(shù)y=f［g(x)］.若u=g(x)在區(qū)間(

6、ab)上是增函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(cd)上是增函數(shù)，那么，原復合函數(shù)y=f［g(x)］在區(qū)間(ab)上是調(diào)減區(qū)間；(2，∞)為復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：大家是否都同意他的結(jié)論還有沒有不同的結(jié)論我可以告訴大家，他的結(jié)論不正確.大家再討論一下，正確的結(jié)論應該是什么生：……生：我發(fā)現(xiàn)，當x=1時，原復合函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)的真數(shù)等于零，于是這個函數(shù)沒意義.因此，單調(diào)區(qū)間中不應含原函數(shù)沒有意義的x的值.師：你說得很好，

7、怎樣才能做到這點呢生：先求復合函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.師：非常好.我們研究函數(shù)的任何性質(zhì)，都應該首先保證這個函數(shù)有意義，否則，函數(shù)都不存在了，性質(zhì)就更無從談起了.剛才的第一個結(jié)論之所以錯了，就是因為沒考慮對數(shù)函數(shù)的定義域.注意，對數(shù)函數(shù)只有在有意義的情況下，才能討論單調(diào)性.所以，當我們求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，第一步應該怎么做生：求定義域.師：好的.下面我們把這道題作為例1寫在筆記本上，我在黑板上寫.(板書)解設y=log4

8、uu=x2－4x3.由u＞0u=x2－4x3，解得原復合函數(shù)的定義域為x＜1或x＞3.師：這步咱們大家都很熟悉了，是求復合函數(shù)的定義域.下面該求它的單調(diào)區(qū)間了，怎樣求解，才能保證單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)呢生：利用圖象.師：這種方法完全可以.只是再說清楚一點，利用哪個函數(shù)的圖象可咱們并沒學過畫復合函數(shù)的圖象啊這個問題你想如何解決生：……師：我來幫你一下.所有的同學都想想，求定義域也好，求單調(diào)區(qū)間也好，是求x的取值范圍還是求復合函數(shù)的函數(shù)值的取

9、值范圍或是求中間量u的取值范圍生：求x的取值范圍.師：所以我們只需畫x的范圍就行了，并不要畫復合函數(shù)的圖象.(板書)師：當x∈(－∞，1)時，u=x2－4x3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(－∞，1)是復合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當x∈(3，∞)時，u=x2－4x3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，∞)是復合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：除了這種辦法，我們還可以利用代數(shù)方法求解單調(diào)區(qū)間.下面先求復合函數(shù)單調(diào)減區(qū)間.(板書)u=x2