第6講-偏導數(shù)與全微分

1、《數(shù)學分析數(shù)學分析II》第6講教案講教案1第6講多元函數(shù)的偏導數(shù)與微分多元函數(shù)的偏導數(shù)與微分授課題目授課題目多元函數(shù)的偏導數(shù)與微分教學內容教學內容1.多元函數(shù)偏導數(shù)的定義；2.多元函數(shù)可微性與全微分；3.函數(shù)可微的必要條件與充分條件；4.可微性的幾何意義.教學目的教學目的和要求和要求通過本次課的教學，使學生能夠較好地掌握多元函數(shù)偏導數(shù)、可微性與全微分的概念，熟記可微的必要條件與充分條件，了解切平面存在定理及其證明教學重點教學重點及難點及

2、難點教學重點：多元函數(shù)偏導數(shù)、可微性與全微分的定義；教學難點：多元函數(shù)可微的充分條件的證明.教學方法教學方法及教材處及教材處理提示理提示(1)本節(jié)的重點是多元函數(shù)偏導數(shù)、可微性與全微分的定義，講授時一方面要講清它們與一元函數(shù)導數(shù)和微分的聯(lián)系，另一方面要講清它們與一元函數(shù)導數(shù)和微分的區(qū)別(2)通過討論可微的必要條件與充分條件，弄清多元函數(shù)連續(xù)，存在偏導數(shù)與可微這三個分析性質之間的關系，并通過一些例題講授使學生加深理解(2)從另一個角度引入

3、曲面在點的切平面概念，強化學生數(shù)學建模能力.S0P作業(yè)布置作業(yè)布置作業(yè)內容：教材:1（4，6，9），2，3，6，8（2），12.116P講授內容講授內容一、偏導數(shù)一、偏導數(shù)定義定義設函數(shù)若，且在的某一鄰域內有定義，則當極.)()(Dyxyxfz??Dyx?)(00??0yxf0x限存在時，稱這個極限為函數(shù)在點關于的偏導數(shù)，xyxfyxxfxzxxx???????????)()(limlim000000f)(00yxx記作或??00yxf

4、x??.00yxxf??類似有，若極限存在時，它是關于的一元函數(shù)yyxfyyxfyzyyy???????????)()(limlim000000y在處的導數(shù)，記作或??yxf00yy???00yxfy??.00yxyf??注意1這里符號專用于偏導數(shù)算符，與一元函數(shù)的導數(shù)符號相仿，但又有差別yx????dxd若函數(shù)在區(qū)域D上每一點都存在對（或對）的偏導數(shù)，則得到函數(shù)在??yxfz???yxxy)(yxfz?區(qū)域D上對（或對的偏導函數(shù)（也簡

5、稱偏導數(shù)），記作x?y《數(shù)學分析數(shù)學分析II》第6講教案講教案3例4設函數(shù)這個函數(shù)在原點處顯然不連續(xù)，但是偏導數(shù)存在，??????其它或1000)(yxyxf），（00且，.0)00(?xf0)00(?yf二、全微分二、全微分定義定義設函數(shù)在點的某領域內有定義對于中的點)(yxfz???000yxP)(0PU)(0PU若函數(shù)在點處的全增量可表示為:)()(00yyxxPyxP?????f0Pz?)()(00yxfyyxxfz??????

6、?)(?oyBxA?????)1(其中是僅與點有關的常數(shù)是較高階的無窮小量則稱函數(shù)在點可微BA0P)(22??oyx?????f0P并稱式中關于的線性函數(shù)為函數(shù)在點的全微分記作)1(yx??yBxA???f0PyBxAyxdfdzP?????)(|000)2(例5考察函數(shù)在點處的可微性.xyyxf?)()(00yx解：函數(shù)的全增量為：f??000000)(yxyyxxyxf????????.00yxyxxy??????由于從而函數(shù)在可微

7、，且??00??????????????yxyxf00yx.00yxxydf????定理定理17.117.1若二元函數(shù)在其定義域內一點處可微，則在該點連續(xù).f)(00yxf三、可微分與偏導數(shù)的關系三、可微分與偏導數(shù)的關系定理定理17.217.2（可微的必要條件）（可微的必要條件）若二元函數(shù)在其定義域內一點處可微，則在該點關于每f)(00yxf個自變量的偏導數(shù)都存在，且式中的)1()()(0000yxfByxfAyx??若二元函數(shù)在點可微

8、，則在點處的全增量可由（1）式表示.現(xiàn)在討論其中A、Bf)(00yxf)(00yx的值與函數(shù)的關系.為此，令，這時得到關于的偏增量，且有f??00????xyz?xzx?或xxAzx??????.?????Axzx現(xiàn)讓，由上式便得A的一個極限表示式容易看出，0??x.)()(limlim000000xyxfyxxfxzAxxx????????????右邊的極限正是關于的一元函數(shù)在處的導數(shù)類似地，令可得到x??0yxf0xx???00??