淺談如何把函數(shù)的性質(zhì)呈現(xiàn)在圖象上

1、淺談如何把函數(shù)的性質(zhì)呈現(xiàn)在圖象上浙江省湖州中學(xué)顧鈺萍華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。”數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)的重要方法之一。函數(shù)的圖象作為函數(shù)性質(zhì)的充分體現(xiàn)，更是與函數(shù)本身的性態(tài)密不可分。解函數(shù)題時(shí)，如何有效地把已有的信息呈現(xiàn)在圖象上，對(duì)函數(shù)其他性質(zhì)的了解和探究是很重要的。《函數(shù)》這一章是高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)第二章的內(nèi)容，這已經(jīng)充分說(shuō)明了函數(shù)的重要性，有了函數(shù)這個(gè)知識(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生才能很好的去學(xué)習(xí)數(shù)

2、列、三角函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)等章節(jié)的內(nèi)容。在初、高中教材中明確給出了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用這些知識(shí)學(xué)生已經(jīng)可以解決大部分問(wèn)題。但是隨著新課改在教學(xué)中的全面實(shí)施，一些開(kāi)放性的題目越來(lái)越多的出現(xiàn)在我們的教學(xué)和練習(xí)中。學(xué)生遇到的有一些函數(shù)是從來(lái)沒(méi)有遇到過(guò)的，幾乎無(wú)法準(zhǔn)確地畫(huà)出其圖象，但如果能把函數(shù)的定義域、奇偶性，周期性等性質(zhì)正確地體現(xiàn)在學(xué)生自己假設(shè)的圖象上，那么即使圖象比

3、較粗糙，對(duì)解題無(wú)疑也是一種很大的幫助。比如這樣一個(gè)例題：已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)且，在()fxR(3)0f?上是增函數(shù)，求使得的的取值范圍。?（0，）()fx()0fx?x本題難度不大，如果學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)有很深刻的理解，那么不用畫(huà)圖象也可以解決。但是如果能夠把函數(shù)的這些性質(zhì)呈現(xiàn)在圖象上，那整個(gè)題目的意思就更加清晰可見(jiàn)了。分析：由題意，函數(shù)在上是奇函數(shù)且在()fxR?（0，）上是增函數(shù)，故函數(shù)在也是增函數(shù)，且，0?（，）(0)0f?，，

4、則函數(shù)的大致圖象如右圖所示。(3)0f?(3)0f??故使得的的取值范圍是。()0fx?x????303????，，類(lèi)似能夠體現(xiàn)函數(shù)圖象優(yōu)越性的題目處處可見(jiàn)，再如這樣一個(gè)例題：函數(shù)是定()fx義在上的偶函數(shù)，已知且在上函數(shù)的解析式為，R(3)(1)fxfx?????4，6()2xfx?若函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)為，求。()fx??201()fx?1(32)f?本題難倒了不少成績(jī)相對(duì)來(lái)說(shuō)還算是比較好的學(xué)生，主要原因不在于題目本身的難度有多大，

5、而是題目給出的信息太多，學(xué)生一時(shí)不知道怎么把這些信息整合起來(lái)。但事實(shí)上，我們只要一步一步的把這些信息呈現(xiàn)在圖象上，那思路就很清晰了。xy303同理，第二個(gè)水瓶對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率隨的增大而減小，00(())hVh0h但始終大于0。第三個(gè)水瓶對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率隨的增大先00(())hVh0h減小后增大，但始終大于0。而第四個(gè)水瓶對(duì)應(yīng)的函數(shù)則是關(guān)于的正比例函數(shù)。故函Vh數(shù)圖象分別如下：（注：本題各水瓶底面積之間沒(méi)有

6、必然關(guān)系，故它們的值域之間也沒(méi)有必然關(guān)系）中學(xué)課本上介紹的簡(jiǎn)單函數(shù)畢竟是有限的，遇到不太熟悉的函數(shù)時(shí)只能用描點(diǎn)作圖法畫(huà)出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象。一般說(shuō)來(lái)，這樣的圖象比較粗糙，很難確切的反映函數(shù)的性態(tài)。以一個(gè)高三學(xué)生的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，我們可以來(lái)總結(jié)一下作函數(shù)圖象的一般程序：（1）求函數(shù)的定義域；（2）考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性；（3）求函數(shù)的某些特殊點(diǎn)，如與兩個(gè)坐標(biāo)的交點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)等；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，凸性區(qū)間等；（5）考察漸近