第六章 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

1、§ 6-1　剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程§ 6-2　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量*§ 6-3　剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,第六章　剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體某瞬時(shí)的角速度為ω，角加速度為ε,設(shè)其上第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的外力為 ，內(nèi)力為,因剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故只考慮力矩的效應(yīng),第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力Fi對(duì)轉(zhuǎn)軸z軸之矩為,§6-1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,,,,對(duì)整個(gè)剛體,令,即,——?jiǎng)傮w對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,它是轉(zhuǎn)動(dòng)剛體慣

2、性的度量,定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的乘積等于作用于剛體上的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和。,——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,§6-2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一、簡(jiǎn)單形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)直桿,,均質(zhì)薄圓環(huán),均質(zhì)圓板,二、回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑),,,三、平行軸定理,·mi,Jz= JC+ md2剛體對(duì)任一定軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz ，等于它對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且與z軸平行的C軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC，加上其質(zhì)量m與兩軸間的距離d的平方乘積。,z

3、9; 軸過(guò)質(zhì)心C, 則,【證明】設(shè)質(zhì)心C的坐標(biāo)為 (xC,yC),則任一點(diǎn)mi的坐標(biāo)滿足: xi=xC+ xi', yi=yC+ yi',即,顯然,【例6-1】圖示質(zhì)量為 m長(zhǎng)度為l 的均質(zhì)直桿OA和質(zhì)量為 m 半徑為 R的均質(zhì)圓盤(pán) C在A點(diǎn)剛性連接，求系統(tǒng)對(duì)垂直于圖面且過(guò) O 點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,【解】 JO = JO(OA) + JO(C),四、例題,,,§6-3 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得

4、 剛體的平面運(yùn)動(dòng)可視為隨質(zhì)心（基點(diǎn)）的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得,,應(yīng)用時(shí)多取投影式,一、運(yùn)動(dòng)微分方程,【例6-6】均質(zhì)圓輪C質(zhì)量為m，其上繞以細(xì)繩，繩的一端固定于O點(diǎn)。求其下降時(shí)質(zhì)心 C 的加速度和繩的拉力。,【解】1）輪C作平面運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為,2）輪C左邊沿與繩接觸點(diǎn)I為瞬心,3）求解,,,,二、例題,,,O,,【例6-7】 均質(zhì)圓盤(pán)O和C的質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和 r。圓盤(pán)O 可繞通

5、過(guò)點(diǎn) O 的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繩的一端繞在圓盤(pán)O上，另一端繞在圓盤(pán) C上。求當(dāng)圓盤(pán)C下落時(shí)質(zhì)心C的加速度及繩AB段的張力。,,,,,,【解】1）輪O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)其平面運(yùn)動(dòng)微分方程為,點(diǎn)C的絕對(duì)加速度,2）輪C作平面運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B為相對(duì)瞬心,4）求解,點(diǎn)A的加速度,其平面運(yùn)動(dòng)微分方程為,【例6-8】長(zhǎng)為l 質(zhì)量為m 的均質(zhì)直桿A端用細(xì)繩懸掛于天花板上，B端靜止放置于光滑水平面上。求突然剪斷繩時(shí)點(diǎn) B 的加速度及桿AB的角加速度。,,【解】1）AB桿

6、作平面運(yùn)動(dòng)列平面運(yùn)動(dòng)微分方程,2）分析B點(diǎn)的加速度,因ω=0，故,求aB的投影,3）求解,【例6-9】圖示半徑為r質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪上纏以無(wú)重水平細(xì)繩，A端固定。輪心O處作用一水平常力FO，輪與水平地面間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f。設(shè)力FO足夠大，使輪心O水平向右運(yùn)動(dòng)，輪子轉(zhuǎn)動(dòng)使不可伸長(zhǎng)細(xì)繩展開(kāi)。求在FO作用下輪心O從靜止開(kāi)始走過(guò)s段路程時(shí)輪子的角速度和角加速度。,【解】1）列輪子運(yùn)動(dòng)方程,4）摩擦條件：F=Nf,2）C為瞬心，則滿足

7、 aO= rε， vO= rω,5）求解：,3）勻變速運(yùn)動(dòng)學(xué)條件,【例6-10】質(zhì)量為m半徑為r的均質(zhì)圓柱C無(wú)初速的放在質(zhì)量為M傾角為 ? 的斜面上，斜面與地面光滑接觸 。不計(jì)滾動(dòng)阻力，求斜面的加速度、圓柱中心 C 點(diǎn)的相對(duì)加速度和角加速度。,【解】1）若斜面與圓柱光滑接觸，圓柱受力如圖。,整體的動(dòng)量在水平方向守恒,求解：,顯然圓柱只滑不滾。,2）若斜面與圓柱粗糙接觸，圓柱作純滾動(dòng)。,整體動(dòng)量水平方向守恒,求解,圓柱的牽連運(yùn)動(dòng)