高等數(shù)學(xué)重難點

1、1高等數(shù)學(xué)重難點高等數(shù)學(xué)重難點第一章函數(shù)極限連續(xù)一、基本要求一、基本要求1.深刻理解函數(shù)的定義，會求簡單函數(shù)的定義域，會用函數(shù)的對應(yīng)法則求函數(shù)值與復(fù)合函數(shù)，了解初等函數(shù)的構(gòu)成，會建立簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式，了解隱函數(shù)和反函數(shù)的概念，了解函數(shù)的有界性單調(diào)性、奇偶性、周期性。2.理解數(shù)列極限的“”定義和幾何意義，知道收斂數(shù)列極限存在與左右極限的N??關(guān)系，知道極限存在時函數(shù)的有界性、保號性，掌握極限運算法則，會用極限存在二法則（夾逼、單調(diào)

2、有界）。理解函數(shù)極限、左右極限的“”定義和“”定義，知X?????道函數(shù)極限存在與左右極限的關(guān)系，知道極限存在時函數(shù)的有界性、保號性，掌握極限存在二準(zhǔn)則，掌握利用兩個重要極限求函數(shù)極限的方法。3.理解無窮小與無窮大的概念、關(guān)系和運算，知道無窮小的比較，掌握利用等價無窮小求極限和近似計算的方法。4.理解函數(shù)連續(xù)和左右連續(xù)的概念，了解連續(xù)函數(shù)和差積商、復(fù)合和初等函數(shù)的連續(xù)性，會判斷間斷點類型，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界、最值、介值、零

3、點）并會應(yīng)用這些性質(zhì)。二、難點二、難點復(fù)合函數(shù)復(fù)合過程的分析，利用兩個重要極限（兩個重要極限（、1)()(sinlim?xx??()）和等價無窮小代換）和等價無窮小代換求函數(shù)極限，函數(shù)間斷點的求法exx??)(1))(1lim(??0)(lim?x?及間斷點類型的判斷，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用。三、重點與注記三、重點與注記函數(shù)的定義及函數(shù)的簡單性態(tài)，復(fù)合函數(shù)的概念和復(fù)合函數(shù)定義域的求法，極限的概念和性質(zhì)，兩個重要極限，函數(shù)極限的求法，無窮

4、小的概念和無窮小的比較，函數(shù)的連續(xù)的概念，初等函數(shù)的連續(xù)性，間斷點的求法及間斷點類型的判斷，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。１、函數(shù)概念的核心是函數(shù)的兩要素，只有當(dāng)其定義域和對應(yīng)法則完全相同時，兩個函數(shù)才表示同一個函數(shù)。根據(jù)實際問題建立的函數(shù)，其定義域是使自變量具有實際意義的實數(shù)集合；由解析式表示的函數(shù)，其定義域是使運算有定義的實數(shù)集合。2、在討論函數(shù)奇偶性時一定要注意它們對函數(shù)定義域的要求。函數(shù)的奇偶性是相對于對稱區(qū)間而說的，若函數(shù)的定

5、義域不對稱，則該函數(shù)一定不是奇函數(shù)或偶函數(shù)。判斷函數(shù)的奇偶性主要是根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義，有時也利用奇偶性的相關(guān)性質(zhì)。是判斷為奇函數(shù)的有效方法。0)()(???xfxf)(xf3、函數(shù)和其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線是對稱的，)(xfy?)(1xfy??xy?的定義域是其反函數(shù)的值域。另外需要注意，只有自變量與因變量)(xfy?)(1xfy??3隱函數(shù)求導(dǎo)法則、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法則）求一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)法則，會

6、求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，會求分段函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)。4.理解微分的概念、微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，掌握微分的四則運算法則和一階微分形式不變性，會求函數(shù)的微分。二、難點二、難點導(dǎo)數(shù)和微分的概念，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)三、重點和注記三、重點和注記１、導(dǎo)數(shù)的定義有兩種表示形式，即和xxfxxfxfx????????)()(lim)(0000，在利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，可根據(jù)不同情況選擇利用以000)()(lim)(0xxxfxfxfxx?????上

7、兩式，例如在求分段函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)時，通常用第二個表達形式。2、一般，以下幾種情況下，需要利用定義來求導(dǎo)數(shù)利用定義來求導(dǎo)數(shù)：（1）在函數(shù)表達式中有抽象函）在函數(shù)表達式中有抽象函數(shù)記號，已知其在某點連續(xù)，但不知它是否可導(dǎo)，欲求其導(dǎo)數(shù)時；（數(shù)記號，已知其在某點連續(xù)，但不知它是否可導(dǎo)，欲求其導(dǎo)數(shù)時；（2）求分段函數(shù)在分段）求分段函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)時；（點的導(dǎo)數(shù)時；（3）求帶絕對值符號的函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)時，此時應(yīng)先去掉絕對值符號，求帶絕對值

8、符號的函數(shù)在分段點的導(dǎo)數(shù)時，此時應(yīng)先去掉絕對值符號，將函數(shù)改成分段函數(shù)。將函數(shù)改成分段函數(shù)。3、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是本章的重點，也是一個難點。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)關(guān)鍵在于搞清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，從外到內(nèi)一層一層的求導(dǎo)，既不能重復(fù)，也不能遺漏。對于某些比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，在求導(dǎo)前，可先進行換元，引入中間變量，將函數(shù)變成比較簡單的形式后再求導(dǎo)，然后乘以中間變量的導(dǎo)數(shù)。4、對于由方程所確定的函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)的方法有兩個：0)(?yxF，)(xyy?dxdy（

9、1）將方程兩邊同時對求導(dǎo)，此時需要注意是的函數(shù)，因此的函數(shù)是的復(fù)合函xyxyx數(shù)，因此應(yīng)該用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求。（2）可以利用微分形式的不變性，在方程兩邊求微分，然后解出。dxdy5、在求冪指函數(shù)求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，可以采取兩種辦法：（1）用對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法，)()]([xgxfy?將兩邊取對數(shù)，然后按隱函數(shù)求導(dǎo)的思路求導(dǎo)；（2）將冪指函數(shù)改寫成將冪指函數(shù)改寫成，)(ln)(xgxfey?再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求。dxdy