二階變系數(shù)線性微分方程的一些解法

1、第九第九節(jié)二階變階變系數(shù)系數(shù)線性微分方程性微分方程的一些解法的一些解法常系數(shù)線性齊次方程和某些特殊自由項的常系數(shù)線性非齊次方程的解法已在第七節(jié)中介紹，而對于變系數(shù)線性方程，要求其解一般是很困難的。本節(jié)介紹處理這類方程的二種方法9.1降階法在第五節(jié)中我們利用變量替換法使方程降階，從而求得方程的解，這種方法也可用于二階變系數(shù)線性方程的求解。考慮二階線性齊次方程＋p(x)＋q(x)y＝0(9.1)22dxyddxdy設(shè)已知其一個非

2、零特解y１，作變量替換，令y＝uy1(9.2)其中u＝u(x)為未知函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)有＝y(tǒng)1＋udxdydxdudxdy1求二階導(dǎo)數(shù)有＝y(tǒng)1＋2＋u22dxyd22dxuddxdudxdy1212dxyd代入(9.1)式得此式稱為二階線性方程的劉維爾(Liouville)公式。綜上所述，對于二階線性齊次方程，若已知其一個非零特解，作二次變換，即作變換y＝y(tǒng)1∫zdx可將其降為一階線性齊次方程，從而求得通解。對于二

3、階線性非齊次方程，若已知其對應(yīng)的齊次方程的一個特解，用同樣的變換，因為這種變換并不影響方程的右端，所以也能使非齊次方程降低一階。例1.已知y１＝是方程＋＋y＝0xxsin22dxydx2dxdy的一個解，試求方程的通解解作變換y＝y(tǒng)1∫zdx則有＝y(tǒng)1z＋∫zdxdxdydxdy1＝y(tǒng)1＋2z＋∫zdx22dxyddxdzdxdy1212dxyd代入原方程，并注意到y(tǒng)1是原方程的解，有y1＋(2＋)z＝0dxdzdxdy1