關于化簡2階線性偏微分方程的一些直觀想法

1、溫環(huán)宇數(shù)學系PB06210447.關于化簡2階線性偏微分方程的一些直觀想法課本第一章談到化簡2階2元線性偏微分方程，以便更好的分類進而方便其求解，個人認為其方法稍顯突兀，并且難以向高維情況推廣，以下討論一些對于課本方法的改進。2階半線性偏微分方程的一般形式是：1()()(...)0ijiijxxixnijiaxuaxuFuxx?????其二次的主部為：0ijijxxijLuau??化簡的實質是做變換，而現(xiàn)階段我們能夠使用的僅有2種：①自

2、變量變換；②未知函數(shù)變換第一部分：過程推導1首先我們知道，二階方程困難之處是在于它的主部，于是我們單獨就進行討論。0Lu受到二次型理論的啟發(fā)，我們利用算子復合的概念將寫成二次型的形式：0L111121212221012121..........................nnnnnnnxaaaaaaxLxxxaaax?????????????????????????????????????????????????????在這里要注意

3、的一點的是，雖然是x的函數(shù)，但在這個二次型里只當作系數(shù)，即不能理解為：ija，而應該理解為，這一點在后面仍會碰到。()ijiiaxx????2ijijijijaaxxxx????????溫環(huán)宇數(shù)學系PB06210447.變換后的二階主部可以直接寫出來：011122122()[]()()()TTxyxxTxyyyLJAJaaaa????????????????????????????????????????????????????2211

4、1222111222221112221112222()()()()2xxyyxxxyyxxyTxxxyyxxyxxyyaaaaaaaaaaaa???????????????????????????????????????????????????????若解出滿足一階方程的，就可以使得方程對角化，然而111222()0xxxyyxxyaaa??????????????這里有2個未知函數(shù)，一起求解可能非常復雜，好在我們要求的僅僅是一個特解，

5、不妨令，這x??樣一來，就化成了，而這個方程是很好解的。11120xyxaa?????于是，我們便完成了方程主部的對角化。4由上面的理論，總可以設：112212()0xxyyxyauauauauFuxy?????再做未知函數(shù)的變換：，便可以將一階導數(shù)項消去，化成12112222aadxdyaavue???1122()0xxyyavavFvxy???便是標準型了。第二部分：推廣就課本的方法而言，其對于2個自變量的處理方法自有其可取之處，因