定積分基本公式

1、定積分基本公式定積分是高等數(shù)學中一個重要的基本概念，在幾何、物理、經(jīng)濟學等各個領域中都有廣泛的應用.本章將由典型實例引入定積分概念，討論定積分性質和計算方法，舉例說明定積分在實際問題中的具體運用等.第二節(jié)第二節(jié)微積分基本公式微積分基本公式一、變上限的定積分一、變上限的定積分設函數(shù)()fx在[[]ab]上連續(xù)x?[]ab，于是積分()dxafxx?是一個定數(shù)，這種寫法有一個不方便之處，就是x既表示積分上限，又表示積分變量.為避免混淆，我們

2、把積分變量改寫成t，于是這個積分就寫成了()dxaftt?.當x在[]ab上變動時，對應于每一個x值積分()dxaftt?就有一個確定的值，因此()dxaftt?是變上限x的一個函數(shù)，記作()Φx=()dxaftt?（a≤x≤b）通常稱函數(shù)()Φx為變上限積分函數(shù)或變上限積分，其幾何意義如圖所示.定理定理1如果函數(shù)()fx在區(qū)間[]ab上連續(xù)，則變上限積分()Φx=()dxaftt?在[]ab上可導，且其導數(shù)是d()()d()dxaΦx

3、fttfxx????（a≤x≤b）.推論推論連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在.且函數(shù)()Φx=()dxaftt?即為其原函數(shù).例1計算()Φx=20sindxtt?在x=0π2處的導數(shù).y=f(x)bxyaφ(x)x再令xb?，得所求積分為()d()()bafttFbFa???.因此積分值與積分變量的記號無關，仍用x表示積分變量，即得()d()()bafxxFbFa???其中()()Fxfx??.上式稱為牛頓萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式.

4、為計算方便，該公式常采用下面的格式：()d()()()bbaafxxFxFbFa????.例1求定積分：(1)2211d()xxx??；（2）2312d(1)xxx??；（3）121dxx??.解（1）222221111d(2)d()xxxxxx??????23115(2)436xxx????.（2）22331122d1(1)1xxxx?????.1xdx2312212d()1()xx???23122arcsinx?212(arcsin