奇偶性與單調(diào)性及典型例題

1、奇偶性與單調(diào)性及典型例題函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.難點(diǎn)磁場(★★★★)設(shè)a0f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0，∞)上是增函數(shù).案例探究［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1當(dāng)且僅當(dāng)001－x1x20，∴0又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(

2、x11)3a2－2a1.解之，得00e2x－10.此時f′(x)0所以f(x)在［0，∞)上是增函數(shù).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：f(－x)==－f(x)，故f(x)為奇函數(shù).答案：C2.解析：f(－x)=－f(x)f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.答案：C二、3.解析：令t=|x1|則t在(－∞－1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，∴y=f(|x1|)在(－∞－1上遞減.答案：(－∞－14.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)

3、=0∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1x2)x2ax1x2x，∴b=－a(x1x2)又f(x)在［x2∞單調(diào)遞增，故a0.又知0＜x1＜x得x1x20∴b=－a(x1x2)＜0.答案：(－∞0）三、5.證明：(1）設(shè)－1＜x1＜x2＜∞則x2－x101且0∴0又x110x210∴0于是f(x2)－f(x1)=0∴f(x)在(－1，∞）上為遞增函數(shù).(2）證法一：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f

4、(x0)=0則且由0＜＜1得0＜－＜1即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.證法二：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0若－1＜x0＜0則＜－2＜1∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，若x0＜－1則00，∴f(x0)0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.6.證明：∵x≠0∴f(x)=設(shè)1＜x1＜x2＜∞則.∴f(x1)f(x2)故函數(shù)f(x)在(1，∞）上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決）

5、7.證明：(1）不妨令x=x1－x2則f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函數(shù).(2）要證f(x4a)=f(x)可先計算f(xa)f(x2a).∵f(xa)=f［x－(－a)］=.∴f(x4a)=f［(x2a)2a］==f(x)故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).8.(1）證明：設(shè)x1＜x2則x2－x1－－由題意f(x2－x1－)0∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)x1］－f(x1)=