小學(xué)奧數(shù)-整數(shù)裂項(xiàng)

1、小學(xué)奧數(shù)整數(shù)裂項(xiàng)對(duì)于較長(zhǎng)的復(fù)雜算式，單單靠一般的運(yùn)算順序和計(jì)算方法是很難求出結(jié)果的。如果算式中每一項(xiàng)的排列都是有規(guī)律的，那么我們就要利用這個(gè)規(guī)律進(jìn)行巧算和簡(jiǎn)算。而裂項(xiàng)法就是一種行之有效的巧算和簡(jiǎn)算方法。通常的做法是：把算式中的每一項(xiàng)裂變成兩項(xiàng)的差，而且是每個(gè)裂變的后項(xiàng)（或前項(xiàng)）恰好與上個(gè)裂變的前項(xiàng)（或后項(xiàng)）相互抵消，從而達(dá)到“以短制長(zhǎng)”的目的。下面我們以整數(shù)裂項(xiàng)為例，談?wù)劻秧?xiàng)法的運(yùn)用，并為整數(shù)裂項(xiàng)法編制一個(gè)易用易記的口訣。后延減前伸差數(shù)

2、除以N例1、計(jì)算12＋23＋34＋45＋…＋9899＋99100分析：這個(gè)算式實(shí)際上可以看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、5……98、99、100，先將所有的相鄰兩項(xiàng)分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為：數(shù)列公差為1，因數(shù)個(gè)數(shù)為2。12=（123012）（13）23=（234123）（13）34=（345234）（13）45=（456345）（13）……9899=（9899100979899）（13）99100=（99100101

3、9899100）（13）將以上算式的等號(hào)左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，右邊括號(hào)里面諸多項(xiàng)相互抵消，可以簡(jiǎn)化為（99100101012）3。解：12233445……989999100=（99100101012）3=333300例2、計(jì)算35＋57＋79＋……＋9799＋99101分析：這個(gè)算式實(shí)際上也可以看作是：等差數(shù)列3、5、7、9……97、99、101，先將所有的相鄰兩項(xiàng)分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點(diǎn)概括為：數(shù)列公差

4、為2，因數(shù)個(gè)數(shù)為2。35=（357135）（23）57=（579357）（23）=（768288944101622）（64）=2147376通過(guò)以上例題，可以看出這類算式的特點(diǎn)是：從公差一定的數(shù)列中依次取出若干個(gè)數(shù)相乘，再把所有的乘積相加。其巧解方法是：先把算式中最后一項(xiàng)向后延續(xù)一個(gè)數(shù)，再把算式中最前面一項(xiàng)向前伸展一個(gè)數(shù)，用它們的差除以公差與因數(shù)個(gè)數(shù)加1的乘積。將以上敘述可以概括一個(gè)口訣是：等差數(shù)列數(shù)，依次取幾個(gè)。所有積之和，裂項(xiàng)來(lái)求作

5、。后延減前伸，差數(shù)除以N。N取什么值，兩數(shù)相乘積。公差要乘以，因個(gè)加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展時(shí)，當(dāng)伸展數(shù)小于0時(shí)，可以取負(fù)數(shù)，當(dāng)然是積為負(fù)數(shù)，減負(fù)要加正。對(duì)于小學(xué)生，這時(shí)候通常是把第一項(xiàng)甩出來(lái)，按照口訣先算出后面的結(jié)果再加上第一項(xiàng)的結(jié)果。此外，有些算式可以先通過(guò)變形，使之符合要求，再利用裂項(xiàng)求解。例5、計(jì)算112233……9999100100分析：nn=(n1)nn解：112233……9999100100=1（122）（23

6、3）……（989999）（99100100）=（1223……989999100）（123……99100）=991001013（1100）1002=3333005050=338350例6、計(jì)算123456……979899100分析：(n1)n=(n2)nn解：12345678……979899100=2（244）（466）（688）……（969898）（98100100）=（244668……969898100）（2468……98100）=9