高中數(shù)學(xué)必修?？碱}型等比數(shù)列

1、等比數(shù)列等比數(shù)列【知識(shí)梳理】1等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)2如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a，b的等比中項(xiàng)，這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式G＝.ab3等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則通項(xiàng)公式為：an＝a1qn－1.【常考題型】題型一、等比數(shù)列的判斷與證明【例1】已知數(shù)列an是

2、首項(xiàng)為2，公差為－1的等差數(shù)列，令bn＝an，求證數(shù)列bn(12)是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式[解]依題意an＝2＋(n－1)(－1)＝3－n，于是bn＝3－n.(12)而＝＝－1＝2.bnbn－1(12)3－n(12)4－n(12)∴數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為bn＝2n－3.【類題通法】證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法(1)定義法：＝q(q為常數(shù)且q≠0)或＝q(q為常數(shù)且q≠0，n≥2)?an為等比an＋1ananan－1數(shù)

3、列(2)等比中項(xiàng)法：a＝anan＋2(an≠0，n∈N)?an為等比數(shù)列2n＋1(3)通項(xiàng)公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q為非零常數(shù)，n∈N)?an為等比數(shù)列【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn＝2－an，求證：數(shù)列an是等比數(shù)列由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.【類題通法】與求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量一樣，求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量也常運(yùn)用方程的思想和方法從方程的觀點(diǎn)看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，an＝a1qn－1(a1q≠

4、0)中包含了四個(gè)量，已知其中的三個(gè)量，可以求得另一個(gè)量求解時(shí)，要注意應(yīng)用q≠0驗(yàn)證求得的結(jié)果【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2(1)若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為5，－1545，則第5項(xiàng)是()A405B－405C135D－135(2)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且a＝a102(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式25an＝________.解析：(1)選A∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，a2a1∴a5＝405.(2)根據(jù)條件求出首項(xiàng)a1和

5、公比q，再求通項(xiàng)公式由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，由a＝a10＝a1q90?a10，又?jǐn)?shù)列an遞增，所以q＝2.1225a＝a100?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an＝2n.25答案：(1)A(2)2n題型三、等比中項(xiàng)【例3】設(shè)等差數(shù)列an的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于()A2B.4C6D8[解析]∵an＝(n＋8)d，又∵a