導數(shù) 極值 最值問題

1、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用導數(shù)在研究函數(shù)中的應用知識梳理知識梳理一函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性1、利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性：、利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性：一般地，設函數(shù)一般地，設函數(shù))(xfy?在某個區(qū)間可導，如果在某個區(qū)間可導，如果f)(x0?，則，則)(xf為增函數(shù)；如果為增函數(shù)；如果f0)(?x，則，則)(xf為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內恒有為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內恒有f0)(?x，則，則)(xf為常數(shù)；為常數(shù)；2、對于可導函數(shù)、對

2、于可導函數(shù))(xfy?來說，來說，f)(x0?是)(xf在某個區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件，在某個區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件，f0)(?x是)(xf在某個區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件。在某個區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件。3、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟：、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟：①求函數(shù)求函數(shù)f(x)的導數(shù)的導數(shù)f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′(x)＜

3、0解不等式，得解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間的范圍，就是遞減區(qū)間.4、已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即、已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單若函數(shù)單調遞增，則調遞增，則()0fx?；若函數(shù)單調遞減，則；若函數(shù)單調遞減，則()0fx?”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解解二函數(shù)極

4、大值、極小值函數(shù)極大值、極小值1、極大值：如果、極大值：如果cx?是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)在某個開區(qū)間在某個開區(qū)間)(vu上的最大值點，即不等式上的最大值點，即不等式)()(xfcf?對一切對一切)(vux?成立，就說函數(shù)成立，就說函數(shù)f(x)f(x)在cx?處取到極大值處取到極大值)(cf，并稱，并稱c為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)的一個極大值點，的一個極大值點，)(cf為f(x)f(x)的一個極大值。一個極大值。2、極小值：如果、

5、極小值：如果cx?是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)在某個開區(qū)間在某個開區(qū)間)(vu上的最小值點，即不等式上的最小值點，即不等式)()(xfcf?對一切對一切)(vux?成立，就說函數(shù)成立，就說函數(shù)f(x)f(x)在cx?處取到極小值處取到極小值)(cf，并稱，并稱c為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)的一個極小值點，的一個極小值點，)(cf為f(x)f(x)的一個極小值。一個極小值。3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與

6、極小值點統(tǒng)稱為極值點；若，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點；若0)(??cf，則，則cx?叫做函數(shù)叫做函數(shù)f(x)f(x)的駐點；可導函數(shù)的極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。的駐點；可導函數(shù)的極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。4、判別、判別f(c)是極大、極小值的方法是極大、極小值的方法:若0x滿足滿足0)(??cf，且在，且在c的兩側的兩側)(xf的導數(shù)異號，則的導數(shù)異號，則c是)(xf的極值點，的極值點，)(cf是極值，并且如

7、果是極值，并且如果)(xf?在c兩側滿足兩側滿足“左正右負左正右負”，則，則c是)(xf的極大值點，的極大值點，)(cf是極大值；如果極大值；如果)(xf?在c兩側滿足兩側滿足“左負右正左負右正”，則，則c是)(xf的極小值點，的極小值點，)(0xf是極小值是極小值5、求可導函數(shù)、求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟的極值的步驟:(1)(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(′(x)∴y=xx1的單調減區(qū)間是的單調減區(qū)

8、間是(－1，0)和(0，1)奎屯王新敞新疆點評：利用導數(shù)討論點評：利用導數(shù)討論函數(shù)的單調函數(shù)的單調區(qū)間時，首先要確定區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域，再求函數(shù)再求函數(shù)f(x)的導數(shù)的導數(shù)f′(x).，然后解不，然后解不等式等式f′(x)＞0，得遞增區(qū)間，解不等式，得遞增區(qū)間，解不等式f′(x)＜0，得遞減區(qū)間，得遞減區(qū)間.題型二題型二已知函數(shù)的單調性，求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)的單調性，求參數(shù)的取值范圍例2.若函數(shù)若函數(shù)321

9、1()(1)132fxxaxax?????在區(qū)間在區(qū)間(14)內為減函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)，在區(qū)間(6)??上為增函數(shù)，試求實數(shù)上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍分析：常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即分析：常利用導數(shù)與函數(shù)單調性關系：即“若函數(shù)單調遞增，則若函數(shù)單調遞增，則()0fx?；若函數(shù)單調遞減，則；若函數(shù)單調遞減，則()0fx?”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解解

10、答：函數(shù)求導得解答：函數(shù)求導得2()1(1)[(1)]fxxaxaxxa?????????，令()0fx??得1x?或1xa??，因為函數(shù)在區(qū)間因為函數(shù)在區(qū)間(14)內為減函數(shù)，所以當內為減函數(shù)，所以當(14)x?時，時，()0fx??又因為在函數(shù)區(qū)間又因為在函數(shù)區(qū)間(6)??上為增函數(shù)，所以當上為增函數(shù)，所以當(6)x???時，時，()0fx??，∴416a???，∴57a??即實數(shù)即實數(shù)a的取值范圍的取值范圍[5[5，7]7]點評：

11、已知單調區(qū)間求參數(shù)點評：已知單調區(qū)間求參數(shù)a的取值范圍是近年來常見的考查導數(shù)的一種題型。的取值范圍是近年來常見的考查導數(shù)的一種題型。備選題備選題例3：已知函數(shù)f（x）=2ax－21xx∈（01］，若f（x）在x∈（01］上是增函數(shù)，求a的取值范圍；解:由已知可得f′（x）=2a32x∵f（x）在（01）上是增函數(shù)，∴f′（x）＞0即a＞－31xx∈（01］.∴a＞－1.當a=－1時，f′（x）=－232x對x∈（01）也有f′（x）＞0