數(shù)學思想與方法作業(yè)答案

1、數(shù)學思想與方法作業(yè)答案1234作業(yè)1一、簡答題1、分別簡單敘說算術與代數(shù)的解題方法基本思想，并且比較它們的區(qū)別。答：算術解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量，收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出關于這些具體數(shù)據(jù)的算式，然后通過四則運算求得算式的結果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關系列出方程，然后通過對方程進行恒等變換求出未知數(shù)的值。它們的區(qū)別在于算術解題參與的量必須是

2、已知的量，而代數(shù)解題允許未知的量參與運算；算術方法的關鍵之處是列算式，而代數(shù)方法的關鍵之處是列方程。2、比較決定性現(xiàn)象和隨機性現(xiàn)象的特點，簡單敘說確定數(shù)學的局限。答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性現(xiàn)象，另一類是隨機現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，其結果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結果之間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預知結果如何。隨機現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結果，也可能不發(fā)生某種結果。對

3、于這類現(xiàn)象，由于條件和結果之間不存在必然性聯(lián)系。在數(shù)學學科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為確定數(shù)學。用這些的分支來定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運動和變化過程，從而確定結果。但是由于隨機現(xiàn)象條件和結果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學來加以定量描述。同時確定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學的局限所在。二、論述題1、論述社會科學數(shù)學化的主要原因。答：從整個科學發(fā)展趨勢來看，社會科

4、學的數(shù)學化也是必然的趨勢，其主要原因可以歸結為有下面四個方面：第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會科學數(shù)學化的最根本的因素。第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系的發(fā)展也需要精確化。第三，隨著數(shù)學的進一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支。第四，電子計算機的發(fā)展與應用，使非常復雜社會現(xiàn)象經(jīng)過量化后可以進行數(shù)值處理。2、論述數(shù)學的三次危機對數(shù)學發(fā)展的作用。答：第一次數(shù)學危機促使人們?nèi)フJ識和理解無

5、理數(shù)，導致了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。第二次數(shù)學危機促使人們?nèi)ド钊胩接憣崝?shù)理論，導致了分析基礎理論的完善和集合論的產(chǎn)生。第三次數(shù)學危機促使人們研究和分析數(shù)學悖論，導致了數(shù)理邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生。由此可見，數(shù)學危機的解決，往往給數(shù)學帶來新的內(nèi)容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學的發(fā)展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數(shù)學領域的發(fā)展。三、分析題1、分析《幾何原本》思想方法的特點，

6、為什么？答：（1）封閉的演繹體系因為在《幾何原本》中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯

7、特的《幾何基礎》開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4、簡述化歸方法并舉例說明。答：所謂“化歸”，從字面上看，應可理解為轉化和歸結的意思。數(shù)學方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程可以令，將原方程

8、化為關于的二次方程這個方程我們會求其解：和，從而得到兩個二次方程：和這也是我們會求解的方程，解它們便得到原方程的解：，，，.這里所用的就是化歸方法。二、論述題1、敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個應用不完全歸納法的例子。答：不完全歸納法的一般推理形式是：設S=；由于具有屬性p，具有屬性p，……具有屬性p，因此推斷S類事物中的每一個對象都可能具有屬性p。2、敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？答：類比推理通常可用下列形式來表示：A

9、具有性質(zhì)B具有性質(zhì)因此，B也可能具有性質(zhì)。其中，分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應盡量滿足條件：(1)A與B共同(或相似)的屬性盡可能地多些；(2)這些共同(或相似)的屬性應是類比對象A與B的主要屬性；(3)這些共同(或相似)的屬性應包括類比對象的各個不同方面，并且盡可能是多方面的；(4)可遷移的屬性d應該是和屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結論一定正確。3、試比較歸納猜想與類比猜想的異

10、同。答：歸納猜想與類比猜想的共同點是：他們都是一種猜想，即一種推測性的判斷，都是一種合情推理，其結論具有或然性，或者經(jīng)過邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反駁。歸納猜想與類比猜想的不同點是：歸納猜想是運用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例—歸納—猜測”。類比猜想是運用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯(lián)想—類比—猜測”。三、設計題設計運用“猜想”進行數(shù)學教學的一個片斷。答：以