淺談數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)教學(xué)

1、<p>　　淺談數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)</p><p><b>　　金光中學(xué) 林澤鈴</b></p><p>　　數(shù)學(xué)起源于人類生產(chǎn)和其它社會實踐。數(shù)學(xué)思想方法伴隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而產(chǎn)生，伴隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展。由此可見，有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的歷史和數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史是同樣悠久的。種種資料顯示，歷來的數(shù)學(xué)家和教育家都非常重視數(shù)學(xué)思想方法的作用。</p>

2、<p>　　長期以來, 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中起著主導(dǎo)作用, 不少數(shù)學(xué)教育工作者對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)作了積極的探索，得出了很多寶貴經(jīng)驗，并取得了一定的成績。我們在吸取他人經(jīng)驗的同時，要敢于突破傳統(tǒng)教育觀念的束縛，現(xiàn)結(jié)合作者本人的數(shù)學(xué)實踐，討論如何突出數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)過程中的重要作用的問題，闡述關(guān)于在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的若干思路。</p><p>　　一、挖掘蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法&l

3、t;/p><p>　　我們的數(shù)學(xué)課堂學(xué)什么？運算、概念……，是的，這樣的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識對一個人的數(shù)學(xué)素質(zhì)是非常重要的，但它是不是影響學(xué)生以后一生的學(xué)習(xí)、生活和工作呢？要回答這樣的問題，先讓我們來看一組統(tǒng)計數(shù)字：</p><p>　　學(xué)生畢業(yè)后，研究數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育的人占1%，使用數(shù)學(xué)的人占29%，基本不用或很少用數(shù)學(xué)的占70%。</p><p>　　再讓我們來看一則特具

4、諷刺意味的風(fēng)景：</p><p>　　以高分?jǐn)?shù)考上名牌大學(xué)的高考寵兒們，當(dāng)他們大學(xué)畢業(yè)時，再讓我們回過頭做一做曾經(jīng)手到擒來的高考數(shù)學(xué)試題時，留在他們臉上卻是一片茫然。</p><p>　　面對如此的現(xiàn)實，我們不難發(fā)現(xiàn)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，真正對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作長期起作用，并使其終生受益的并不是數(shù)學(xué)知識，而是數(shù)學(xué)思想方法。何為數(shù)學(xué)思想方法？</p><p>

5、　　所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)概念，方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識，是建立數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想，它是數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)科固有的，是數(shù)學(xué)的靈魂；所謂數(shù)學(xué)方法，就是數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下處理數(shù)學(xué)問題的具體手段和工具，是數(shù)學(xué)思想的具體化反映，它是數(shù)學(xué)的根本。在一定的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上，運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程。與這種積累達(dá)到一定程度時就會產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)方法起著指導(dǎo)作用，而數(shù)學(xué)方法較之?dāng)?shù)學(xué)思想具有更大

6、的靈活性，它可促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展。因此，人們通常將數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念——數(shù)學(xué)思想方法。</p><p>　　在現(xiàn)實的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，由于數(shù)學(xué)思想方法比其他數(shù)學(xué)知識更抽象、更概括，加上它的隱蔽性，所以學(xué)生難以從教材中獨立獲取，因此，這就需要教師對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)高度重視，在教學(xué)中不失時機，地進(jìn)行潛移默化，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適宜環(huán)境，讓他們在“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”中領(lǐng)會基本的數(shù)學(xué)思想。</p>

7、<p>　　在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一些數(shù)學(xué)思想滲透在各類知識之中，在教學(xué)的各階段都起著重要的作用。而從當(dāng)前的教學(xué)實際來看，這一重要的教學(xué)內(nèi)容，恰恰受到不少師生的忽視。正是這一情況的存在，制約著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，影響著素質(zhì)教育通過課堂教學(xué)這一主渠道得以落實。在中學(xué)階段，學(xué)生應(yīng)掌握的主要有以下八種數(shù)學(xué)思想方法：符號思想方法，分類討論思想方法，化歸思想方法，數(shù)形結(jié)合思想方法，函數(shù)思想方法，方程思想方法，隨機思想方法，運用數(shù)學(xué)

8、思想方法。在此分別簡述如下：</p><p><b>　　1、符號思想方法</b></p><p>　　符號思想是指用符號及符號組成的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)數(shù)學(xué)的概念、運算和結(jié)論的數(shù)學(xué)思想，是序化思想的一種體現(xiàn)，其主要特點是：簡明性，直觀性。例如，分式基本性質(zhì)，用數(shù)學(xué)符號表示是：=，= （其中m是不等于零的整式），顯然，它比用文字陳述要簡明、直觀得多；</p>

9、<p>　　2、分類討論思想方法</p><p>　　我們所處的世界中一切事物都存在于同其他事物多種多樣、錯綜復(fù)雜的普通聯(lián)系之中，他們的本質(zhì)和規(guī)律性也就會在這些聯(lián)系中表現(xiàn)出來了。要在事物的相互聯(lián)系中認(rèn)識事物，我們常常使用“分類”這一自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法。數(shù)學(xué)中則依據(jù)數(shù)學(xué)對象屬性的不同，將數(shù)學(xué)對象分為不同的種類，以便于人們把復(fù)雜的事物加以合理分類，然后一類一類地去加以考察研究，這是體現(xiàn)

10、在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想方法。教師在教學(xué)過程中應(yīng)做有心人，在教學(xué)中采用示 范、指導(dǎo)等方式，使學(xué)生學(xué)會分類處理復(fù)雜問題的思想。這種做法，在講解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識時就應(yīng)加以總結(jié)。例如講解求χ的絕對值：當(dāng)χ＞0時，|χ|=χ；當(dāng)χ=0時，|χ|=0；當(dāng)χ＜0時，|χ|=-χ。這里就體現(xiàn)了分類討論研究的思想方法。在高中階段，含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題處于相當(dāng)?shù)牡匚?，這對提高學(xué)生的敏捷性及數(shù)學(xué)素質(zhì)，成為不可缺少的內(nèi)容。它針對參數(shù)在一定范圍內(nèi)不同類別的取值，會產(chǎn)生

11、不同的效果進(jìn)行分類討論研究以及整體考慮，即進(jìn)行歸納。分類討論研究的思想方法，不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)，在其他學(xué)科的教學(xué)和實際生活中處處用到，學(xué)生應(yīng)該通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，逐步形成這一有用的思想方法。</p><p><b>　　3、化歸思想方法</b></p><p>　　化歸思想方法是一種把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最終

12、求得原問題解答的數(shù)學(xué)思想。這是反映數(shù)學(xué)技巧與手段的十分重要的、得到普遍運用的數(shù)學(xué)思想。利用此思想方法，在解決數(shù)學(xué)問題時且直接解答難以進(jìn)行時，應(yīng)把陌生問題熟悉化；把復(fù)雜問題簡單化。例如，經(jīng)常采用化高次方程為低次方程、化多元問題為單元問題、化立體問題為平面問題等具體做法來簡化。</p><p>　　例：設(shè)m，n，k是自然數(shù)且n≥k,m≥k,證明：</p><p>　　組合恒等式CC+CC+…+

13、CC=C</p><p>　　分析：組合的許多公式都有現(xiàn)實問題的原型。對這樣一個恒等式，如果我們能夠構(gòu)造一個具有兩種解法的實際組合問題（即這一數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實原型），使得其中一種解法與等式左邊相對應(yīng)，另一種解法與等式右邊相對應(yīng)，那么問題就得到解決。</p><p>　　事實上，可考慮下面的組合問題：</p><p>　　一年級有n名排球運動員，二年級有m

14、名排球運動員，從兩個年級共選出k名排球運動員參加校際競賽，問有多少種選法？</p><p>　　解法一：考慮排球運動員來自哪個年級，相當(dāng)于從（m+n）名排球運動員中選出k名排球運動員，所以有C種不同選法。</p><p>　　解法二：考慮排球運動員來自不同年級，則選取方法有k+1類：當(dāng)一年級選出j個（o≤j≤k）時，二年級選出（k－j）個，這時有CC種不同選法，所以共有</p>

15、<p>　　CC+CC+…+CC 種不同選法。</p><p>　　這種解法的答案必須是相等的，因而所要證明的恒等式成立。</p><p><b>　　4、數(shù)形結(jié)合思想</b></p><p>　　數(shù)與形是現(xiàn)實世界中客觀事物的抽象和反映，同時也是我們數(shù)學(xué)的基石。在從十八世紀(jì)開始，笛卡爾就把“數(shù)”與“形”通過直角坐標(biāo)系建立了密切的關(guān)

16、系，首創(chuàng)在直角坐標(biāo)平面上研究函數(shù)和幾何等問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，從始至終都貫穿著數(shù)形結(jié)合的思想，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的結(jié)果，更有利學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，一旦學(xué)生形成了數(shù)形的思想方法，處理數(shù)學(xué)問題的能力就會更強。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的整個過程中，特別是在教學(xué)函數(shù)和解析幾何階段，教師要處處提示學(xué)生認(rèn)識數(shù)形結(jié)合的好處，幫助學(xué)生建立起數(shù)形結(jié)合的思想方法，這無疑是讓學(xué)生掌握一種解決數(shù)學(xué)問題的銳利武器，學(xué)生對這一武器運用是否熟練，往往體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能

17、力的高低。下面就舉一個例說明數(shù)形結(jié)合思想方法的好處。</p><p>　　例：如果方程=χ+b有解，試求參數(shù)b的取得范圍；又若此方程有唯一解，則b的取值范圍如何？</p><p>　　分析：本題如直接用代數(shù)方程討論相當(dāng)繁瑣。下面通過數(shù)形結(jié)合方法，將求解的問題映射成坐標(biāo)平面上的幾何問題來處理，顯得異常簡單。</p><p>　　我們把原方程左邊看成一個函數(shù)y=，它是一

18、個半圓（y≥0）；右邊也看成一個函數(shù)y=x+b，其圖像是斜率為1的直線，當(dāng)參數(shù)b（截距）變動時，形成一個直線族。于是原方程是否有解，等價于上述直線與半圓是否相交；若相交且只有一個交點，則說明方程有唯一解。當(dāng)直線與半圓相切時，該直線到圓心（1，0）的距離為半徑1，由于△PAB是等腰直角三角形，容易求出這時b=-1+ ，于是借助于幾何直觀，我們?nèi)菀椎贸鋈缦陆Y(jié)論：當(dāng)-2≤b＜－1 時，直線與半圓有交點，即原方程有解；當(dāng)-2≤b＜0或b=－1

19、 時， 直線與半圓有唯一交點，即原方程有唯一解，如圖所示。</p><p>　　上一例子告訴我們，根據(jù)方程 </p><p>　　結(jié)構(gòu)的特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何</p><p>　　圖形，并利用（解析）幾何的知識</p><p>　　來研究解決問題，可以化抽象</p><p>　　為直觀，有助于顯露

20、出問題的</p><p>　　內(nèi)在聯(lián)系。借助于幾何直觀可</p><p>　　以提供簡捷的解題思路，避免</p><p>　　一些復(fù)雜運算和字母取值范圍</p><p>　　的討論，使問題求解更加順利。</p><p>　　著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾專門寫詩稱頌數(shù)形</p><p>　　結(jié)合的重要

21、意義，他寫道：</p><p>　　“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。</p><p>　　數(shù)缺形時少直接，形缺數(shù)時難入微。</p><p>　　數(shù)形結(jié)合百般好，隔離兩家萬事休。</p><p>　　幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！?lt;/p><p><b>　　5、函數(shù)思想方法</b></

22、p><p>　　函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的精髓，中學(xué)幾何內(nèi)容中的軌跡曾使不少中學(xué)生感到困惑，但用函數(shù)來描述，就顯然很自然易懂。特別在高中階段，教師若不注重引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)的思想方法，那是無法學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的，更不能指望他們用函數(shù)的觀點來處理面對的各種實際問題。</p><p><b>　　6、方程思想方法</b></p><p>　　方程思想方法指的是根據(jù)實際

23、問題建立方程并求解方程的基本數(shù)學(xué)思想。在中國古代數(shù)學(xué)中，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題主要是憑經(jīng)驗和技巧，缺乏一個適用各類應(yīng)用問題的一般解法。 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中引入字母代表未知數(shù)之后，應(yīng)用問題中的等量就可用未知數(shù)和符號組成的等式即方程來表示，解答方程，應(yīng)用問題也就得出了答案。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)通過方程、方程組以及不等式、不等式組的解法，以及動用方程解答各類實際應(yīng)用問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會方程求解的思想方法，并熟練運用。</p><p>

24、;<b>　　7、隨機思想方法</b></p><p>　　隨機思想早已應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、各經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域、軍事領(lǐng)域和科學(xué)研究及現(xiàn)代化生活各個領(lǐng)域，作為預(yù)測和決策的根據(jù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重向?qū)W生滲透隨機思想，對學(xué)生今后的人生道路將起到領(lǐng)路的作用。</p><p>　　8、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法</p><p>　?。?）數(shù)學(xué)模型思想。數(shù)學(xué)模型思想是用數(shù)學(xué)解

25、決實際問題的最基本的方法——數(shù)學(xué)模型方法的指導(dǎo)思想，處于所有數(shù)學(xué)之心臟，也處于某些最抽象的純數(shù)學(xué)的核心之中，具備實踐性、實用性、綜合性、簡單性等特點。現(xiàn)實生活中的人口增長、銀行復(fù)利、分期付款等與日常生活相關(guān)的問題都可以通過數(shù)學(xué)模型來解決。</p><p>　?。?）優(yōu)化思想。在高度重視素質(zhì)教育的今天，優(yōu)化思想指導(dǎo)下的“最優(yōu)化”方法在解決現(xiàn)實生活中各種問題顯得特別重要。我國經(jīng)濟(jì)日益發(fā)達(dá)，經(jīng)濟(jì)方面的數(shù)學(xué)問題已日漸成為

26、人們的常識，如果我們的數(shù)學(xué)教學(xué)仍然只滿足于“思維體操”的功能，不管實際應(yīng)用，恐怕要落后時代，誤人子弟。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法已不容忽視。</p><p>　　二、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)該遵循的原則</p><p><b>　　1、滲透性原則</b></p><p>　　正因為數(shù)學(xué)知識是“點石成金”后的金，而數(shù)學(xué)思想方法才是“點石”

27、之指，這就要求我們在數(shù)學(xué)知識教學(xué)的同時，必須注重數(shù)學(xué)思想方法的有機滲透和充分發(fā)揮其自身具有的統(tǒng)帥作用。只有這樣，才能有助于學(xué)生形成一個既有肉體又有靈魂的活的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，從而不僅會促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，而且還會推動學(xué)生思維品質(zhì)乃至整體素質(zhì)的提高。</p><p>　　所謂滲透，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)時，必須以數(shù)學(xué)知識為載體，把藏于知識背后的思想方法顯示出來，通過逐步積累，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識由淺入深，由表及里，漸

28、漸地達(dá)到一定的高度。因址，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中， 對思想方法的教學(xué)應(yīng)做一個“滲透”的有心人。</p><p><b>　　2、漸進(jìn)性原則</b></p><p>　　古往今來，世人給我們留下的數(shù)學(xué)思想是非常豐富的。這些數(shù)學(xué)思想與我們所教學(xué)的數(shù)學(xué)知識一樣，有難有易。因此，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)必須結(jié)合兩個實際，即教材實際和學(xué)生實際。而數(shù)學(xué)思想方法是融合在數(shù)學(xué)知識之中的，所以這就需

29、要我們教師全面地熟悉教材，對教材中所反映的數(shù)學(xué)思想要有明確的認(rèn)識，對教材內(nèi)容從思想方法的角度作認(rèn)真分析，在教學(xué)中不失時機地抓住機會，不斷地一點一滴地再現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，由淺入深，由易到難分層次地貫徹數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，做一個“層次”的選擇者。</p><p><b>　　3、明確性原則</b></p><p>　　從數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整個過程看，不明確地滲透，將會影響學(xué)

30、生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍，會妨礙學(xué)生有意識地去掌握和領(lǐng)會。因此，在反復(fù)滲透的過程中，教師在適當(dāng)時機予以明確是必要的。也就是說，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)以明確性原則為目標(biāo)。</p><p><b>　　4、參與性原則</b></p><p>　　由于數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更抽象，不可能照搬、復(fù)制。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)活動過程的教學(xué)，重在思辯操作，離開教學(xué)活動過程，數(shù)學(xué)

31、思想方法也就無從談起。所以我們的教學(xué)活動過程中，教師作為數(shù)學(xué)思想的傳播者，應(yīng)該認(rèn)真組織好學(xué)生，讓他們以一種積極的狀態(tài)，主動的參與到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中來，通過他們自己的學(xué)習(xí)勞動，以及教師的啟發(fā)引導(dǎo)，逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法。在這個過程中，學(xué)生的參與度非常重要，沒有學(xué)生的參與，那就不可能對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生體驗，沒有了體驗，數(shù)學(xué)思想只能是一種空話，所以，我們應(yīng)該創(chuàng)設(shè)能夠吸引學(xué)生參與到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中來的那種情境，讓他們在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)

32、過程中，根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式構(gòu)建出數(shù)學(xué)思想方法的體系。</p><p>　　總之，教學(xué)要源于教材，又不拘泥于教材，要創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)利用各種教學(xué)資源，在教學(xué)過程中不失時機地把蘊涵在教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想滲透給學(xué)生，使學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，并能夠靈活運用數(shù)學(xué)思想解決問題，這樣的學(xué)生才有遠(yuǎn)見，才有洞察力、創(chuàng)造力，才能使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)朝氣蓬勃、充滿生機?！笆谥贼~，不如授