[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第三章2講

1、第四節(jié),隨機變量的獨立性,隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念,兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立 .,兩隨機變量獨立的定義是：,它表明，兩個r.v相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 .,若 (X,Y)是連續(xù)型r.v ，則上述獨立性的定義等價于：,若 (X,Y)是離散型r.v ，則上述獨立性的定義等價于：,,,由條件密度的定義：,可知，當X與Y相互獨立時，,也可用此

2、條件判別二維連續(xù)型r.v(X,Y)的兩個分量X與Y是否相互獨立.,,解：,x>0,,即：,對一切x, y, 均有：故X,Y 獨立,y >0,解：,0<x<1,0<y<1,由于存在面積不為0的區(qū)域，,故X和Y不獨立 .,例2 甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布. 乙獨立地到達,而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布. 試求

3、先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？,解: 設X為甲到達時刻,Y為乙到達時刻,以12時為起點,以分為單位,依題意,,X~U(15,45), Y~U(0,60),所求為P( |X-Y | 5) 及P(X<Y),甲先到的概率,由獨立性,先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率,解一：,P(| X-Y| 5),=P( -5< X -Y <5),=1/6,=1/2,P(

4、X<Y),解二：,P(X <Y),=1/6,=1/2,被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積,=P(X >Y),P(| X-Y| 5),類似的問題如：,甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設兩船各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的 . 若甲船需停泊1小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率.,在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的. 若收到兩個互相獨立的這種信號的時間

5、間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾. 求發(fā)生兩信號互相干擾的概率.,把長度為a的線段在任意兩點折斷成為三線段，求它們可以構成三角形的概率.,隨機變量獨立性的概念不難推廣到兩個以上r.v的情形.（見教材）,定理1 若連續(xù)型隨機向量（X1, …,Xn）的概率密度函數(shù)f(x1, …,xn)可表示為n個函數(shù)g1, …,gn之積，其中gi只依賴于xi，即 f(x1, …,xn)= g1(x1) …gn(xn

6、) 則X1, …,Xn相互獨立,且Xi的邊緣密度fi(xi)與gi(xi)只相差一個常數(shù)因子.,最后我們給出有關獨立性的兩個結果：,定理2 若X1, …,Xn相互獨立,而 Y1=g1(X1, …,Xm), Y2=g2 (Xm+1, …,Xn)則Y1與Y2獨立 .,這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念. 給出了各種情況下隨機變量相互獨立的條件，希望同學們