[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版第五章第五章2講

1、,第二節(jié) 中心極限定理,,,中心極限定理的客觀背景,在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,,,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對(duì)我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.,如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，,炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服

2、從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.,現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.,當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？,在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？,由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量,的分布函數(shù)的極限.,的分布函數(shù)的極限.,可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,考慮,中心極限

3、定理,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.,我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形.,下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.,定義,定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）,它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.,設(shè)X1,X2, …是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，

4、i=1,2,…，則,雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ …+Xn 的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布.,定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）,設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有,定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)（或者說，np(1-p)也不太小時(shí)），二項(xiàng)變量 的分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p)).,中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也

5、是統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。,例1 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.,由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，,16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, …,16,E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y>1920),由題給條件知,諸Xi獨(dú)立,,

6、16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, …,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y>1920),由于E(Y)=1600,,D(Y)=160000,P(Y>1920)=1-P(Y?1920),=1-?(0.8),?1-,=1-0.7881=0.2119,稍事休息,例2. (供電問題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等

7、常需停車. 設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦.,問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?,用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，,解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，,每次試驗(yàn)觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作， 工作的概率為0.6，共進(jìn)行200次試驗(yàn).,依題意，,X~B(200,0.6),,現(xiàn)在的問題是：,求滿足,設(shè)需N臺(tái)車床工作，,（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦，

8、N臺(tái)工作所需電力即N千瓦.）,,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),,于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N),這里 np=120, np(1-p)=48,由3σ準(zhǔn)則，此項(xiàng)為0。,查正態(tài)分布函數(shù)表得,由 ≥0.999，,從中解得N≥141.5,,即所求N=142.,也就是說, 應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).,例3 在一個(gè)罐子中,裝有1

9、0個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼.,問對(duì)序列{Xk},能否應(yīng)用大數(shù)定律？,諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.,解:,,即對(duì)任意的ε>0,,解:,諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.,(2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?,解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為,由中心極限定理,近似N(0,1),近似N(0,1),

10、欲使,即,查表得,從中解得,即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.,(3) 用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.,解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為,E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09,即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.,=0.6826,近似N(0,1),這一講我們介紹了中心極限定理

11、,在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.,中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡(jiǎn)單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí).,,,,無處不在的9,任取一多位數(shù)（位數(shù)大于等于2），然后交換次序得另一數(shù)，將大數(shù)減小數(shù)，求差數(shù)的各位數(shù)之和，若為一位數(shù)則必為9，若是多位數(shù)，則在求其各位數(shù)之和，如此反復(fù)，直到和為一位數(shù)，則必為9.如： 72-27

12、=45,4+5=9.,,,,,,二維Hilbert曲線,德國(guó)數(shù)學(xué)家David Hilbert發(fā)現(xiàn)了這樣一種可以填滿整個(gè)單位正方形的分形曲線，他稱它為Hilbert曲線。我們來看一看這條曲線是怎么構(gòu)造出來的。首先，我們把一個(gè)正方形分割為4個(gè)小正方形，然后從左下角的那個(gè)小正方形開始，畫一條線經(jīng)過所有小正方形，最后到達(dá)右下角?，F(xiàn)在，我們把這個(gè)正方形分成16個(gè)小正方形，目標(biāo)同樣是從左下角出發(fā)遍歷所有的格子最后到達(dá)右下角。,,而在這之前我們已經(jīng)得

13、到了一個(gè)2x2方格的遍歷方法，我們正好可以用它。把兩個(gè)2x2的格子原封不動(dòng)地放在上面兩排，右旋90度放在左下，左旋90度放在右下，然后再補(bǔ)三條線段把它們連起來。現(xiàn)在我們得到了一種從左下到右下遍歷4x4方格的方法，而這又可以用于更大規(guī)模的圖形中。用剛才的方法把四個(gè)4x4的方格放到8x8的方格中，我們就得到了一條經(jīng)過所有64個(gè)小方格的曲線。不斷地這樣做下去，無限多次地迭代后，每個(gè)方格都變得無窮小，最后的圖形顯然經(jīng)過了方格上所有的點(diǎn)，它就是我