[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第五章第五章1講

1、第五章,第一節(jié) 大數(shù)定律,概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象.,,研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,,下面我們先介紹大數(shù)定律,大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣正面

2、出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的廢品率,……,問題：測量一個工件時，由于測量具有誤差，為什么以各次的平均值來作為測量的結果？而且只要測量的次數(shù)足夠多，總可以達到要求的精度？,我們把這問題給出數(shù)學表達：,這里反映了什么樣的客觀統(tǒng)計規(guī)律呢？,如果工件的真值為,即大量測量值的算術平均值具有穩(wěn)定性。,這就是大數(shù)定律所闡述的。,測量的經(jīng)驗就是：,定義1,,若對任意,,想想：數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨機變量序列

3、 收斂性的區(qū)別。,,定義2,對任意,定理1,,回憶數(shù)列的性質(zhì)，比較它們的相似和不同性。,,幾個常見的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,設 X1,X2, …是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …，,切比雪夫,則對任意的ε>0，,證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是切比雪夫不等式.,切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學描述,作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，

4、有下面的定理.,定理2（獨立同分布下的大數(shù)定律）,設X1,X2, …是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…,則對任給 >0,,下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理2的一種特例.,貝努里,設Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,引入,i=1,2,…,n,則,是事件A發(fā)生的頻率,于是有下面的定理：,設Sn是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的 次數(shù)，p是事

5、件A發(fā)生的概率，則對任給的ε> 0，,定理3（貝努里大數(shù)定律）,或,貝努里,貝努里大數(shù)定律表明，當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法.,任給ε>0，,下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在.,設隨機變量序列X1,X2, …獨立同分布，具有有限的數(shù)學期望E(Xi)=μ, i=1,2,…， 則對任給ε >

6、;0 ，,定理4（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.,例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計算其平均畝產(chǎn)量，則當n 較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.,下面我們再舉一例說明大數(shù)定律的應用.,定積分的概率計算法,我們介紹均值法，步驟是,1) 產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)rn,,2) 計算g(rn)， n=1,2,…,N,n=1,2