[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第二章3講

1、第四節(jié),連續(xù)型隨機變量,連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間, 對這種類型的隨機變量, 不能象離散型隨機變量那樣, 以指定它取每個值概率的方式, 去給出其概率分布, 而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.,下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.,1. 連續(xù)型r.v及其密度函數(shù)的定義,定義：若對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)實函數(shù)f(x),使得對任意的實數(shù)x,都有 則稱X為連續(xù)型隨機變量，

2、f(x)稱為隨機變量X的概率密度函數(shù)（Probability Density Function）。,1 o,2 o,這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù) f(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是X落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度.,3. 對 f(x)的進(jìn)一步理解:,要注

3、意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.,若不計高階無窮小，有：,它表示隨機變量 X 取值于 的概率近似等于 .,連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0.,,,,即：,a為任一指定值,這是因為,需要指出的是:,,,,由此得，,1) 對連續(xù)

4、型 r.v X,有,2) 由P(X=a)=0 可推知,而 {X=a} 并非不可能事件,并非必然事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.,可見，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,解,例1,3、連續(xù)型 r.v的分布函數(shù),即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限的定積分.,由上式可得，在 f (x)的連續(xù)點，,下面我們來求一個連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù).,F(x) = P(X x) =,解：,求

5、F(x).,解： 對x < -1，F(xiàn)(x) = 0,對,對 x>1， F (x) = 1,即,大家一起來作下面的練習(xí).,求 F(x).,設(shè),由于f(x)是分段表達(dá)的，求F(x)時注意分段求.,,對連續(xù)型r.v，若已知F(x)，我們通過求導(dǎo)也可求出 f (x)，請看下例.,即,例3 設(shè)r.vX的分布函數(shù)為,(1) 求X取值在區(qū)間 (0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度.,解: (1)

6、P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2) f(x)=,注意到F(x)在1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個別點處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在 沒意義的點處，任意規(guī)定 的值.,下面給出幾個常用連續(xù)型r.v的例子.,（1）若 r.vX的概率密度為：,則稱X服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：,X ～ U(a, b),它的實

7、際背景是： r.v X 取值在區(qū)間(a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比.則 X 具有(a,b)上的均勻分布.,分布函數(shù),,,,公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計算中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；,例4 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:4

8、5 等時刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車時間少于5 分鐘的概率.,解：,依題意， X ～ U ( 0, 30 ),以7:00為起點0，以分為單位,為使候車時間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站.,所求概率為：,從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達(dá)汽車

9、站，,即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3.,例5 設(shè)隨機變量 X 在 [ 2, 5 ]上服從均勻分布, 現(xiàn)對 X 進(jìn)行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值大于3 的概率.,X 的分布密度函數(shù)為,設(shè) A 表示“ X 的觀測值大于 3”,,解,即 A={ X >3 }.,因而有,設(shè)Y 表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),,則,區(qū)間( 0, 1)上的均勻分布U(0,1)在計算機模擬中起著重要的作用.,實用中，用計算機程序

10、可以在短時間內(nèi)產(chǎn)生大量服從 ( 0, 1)上均勻分布的隨機數(shù). 它是由一種迭代過程產(chǎn)生的.,嚴(yán)格地說，計算機中產(chǎn)生的U (0,1) 隨機數(shù)并非完全隨機，但很接近隨機，故常稱為偽隨機數(shù).,如取n足夠大，獨立產(chǎn)生n個U(0,1)隨機數(shù)，則從用這 n 個數(shù)字畫出的頻率直方圖就可看出，它很接近于( 0, 1)上的均勻分布U(0,1).,2. 指數(shù)分布,某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從

11、指數(shù)分布.,應(yīng)用與背景,分布函數(shù),例6 設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時以上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.,X 的分布函數(shù)為,解,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性”.,至此，我們已初步介紹了兩類重要的隨機變量: 離散型r.v和連續(xù)型r.v,對它們分別用概

12、率函數(shù)和密度函數(shù)描述.,,,,下節(jié)課我們學(xué)習(xí)最重要的連續(xù)型隨機變量：正態(tài)分布.,作業(yè),,由上述可知，對于連續(xù)型隨機變量，我 們關(guān)心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．,,,例 2,某電子元件的壽命 X（單位：小時）是以,為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機變量．求 5 個同類型的元件在使用的前 150 小時內(nèi)恰有 2 個需要更換的概率.,解： 設(shè) A={ 某元件在使用的前 150 小時內(nèi)需

13、要更換},,,例 2（續(xù)）,檢驗 5 個元件的使用壽命可以看作是在做一個5重Bernoulli試驗．設(shè) Y 表示5 個元件中使用壽命不超過150小時 的元件數(shù)，,,故所求概率為,四色猜想,四色猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一(另外兩個是費馬定理和哥德巴赫猜想)。 1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，

14、每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！?用數(shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字?！?這是一個拓?fù)鋵W(xué)問題 。,,1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著

15、名數(shù)學(xué)家哈密爾頓請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決?！　?872年，英國當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。,,1878年肯普和泰勒宣布證明了此定理，11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。