力與位移的復勢表達

1、力與位移的復勢表達,1. 復勢應力函數(shù),平面彈性平衡，體力為常量，應力函數(shù)U，滿足,引入,(1),可得,(3-1),,,,,,積分兩次,(3-4),(3-5),由(3-1)式，得：,(3-3),,,故,,,,其中f1、f2、f3、f4均表示任意函數(shù)。左邊U是實函數(shù)，右邊四項一定兩兩共軛，即,,稱之為復勢應力函數(shù)。,2應力和位移的復勢,(2),(3-6),,,,,應力復勢,不計體力,注意到式(3-4)得,將式(3-6)代入得,由式(3-

2、7),(3-7),(3-8),,,,,,注意到式(3-2)得,設,式(3-8)和(3-9)平面應力分量的復勢形式。,位移復勢,平面應力，由幾何方程與廣義虎克定律,(1),(3-9),(2),(3),,,,將式(1-8)和(1-7)分別代入(2)和(3)式，積分得：,式中f1及f2為任意函數(shù)。將式(5)代入式(4)，用式(1-7)中的第三式及式(1-1)，得,(常數(shù)),積分得剛體位移：,(5),,,,,若不計剛體位移，由式(5)組合得

3、 （注：強度問題與剛體位移無關）,將式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右邊，兩邊除以(1+ν),這就是位移復勢。,對平面應變，,(6),(3-10),,,,,,,,復應力函數(shù)的確定程度(數(shù)學上完全確定，力學上看哪些部分不影響應力和位移),1 應力確定時，由式(3-8)和(3-9)可知，,設,(1),(2),(1’),(2’),(3),,,,,,,,C為任意實常數(shù)。積分得,由式(3)有,，比較式(2)與(2'

4、;)可見,積分得,故,(4),(5),(6),(A),,,,2：位移確定時，則應力完全確定，不容許有(A)型以外 代換?？疾?A)型代換如何才不致改變位移。將式(1-10) 進行(A)型代換,位移確定，必須,不改變位移只能將,(7),和 中只有一個為任意常數(shù),設為 , 由 確定,,,,,復勢邊界條件,1、應力邊界條件,平面應力邊界條件,將式(1-7)代入上式得,(B),,,曲線AB為任一段