流體力學中的三大基本方程

1、流體力學中的三大基本方程,劉穎杰,1 連續(xù)性微分方程,理論依據(jù)：質量守恒定律在微元體中的應用數(shù)學描述： [單位時間流出的質量]-[單位時間流入的質量]+[單位時間質量的累積or增量]=0,假定流體連續(xù)地 充滿整個流場，從中 任取出以 點為中心的微小六面 體空間作為控制體如 右圖。控制體的邊長 為dx，dy，dz，分別 平行于直角坐標軸x，,公式推導：,（1）單位時間內流入、流出微元體流體總質量變化

2、,y，z。設控制體中心點處流速的三個分量為 ,液體密度為 。將各流速分量按泰勒級數(shù)展開，并略去高階微量，可得到該時刻通過控制體六個表面中心點的流體質點的運動速度。例如：通過控制體前表面中心點M的質點在x方向的分速度為通過控制體后表面中心點N的質點在x方向的分速度為,因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。所以單位時間內沿x軸方向,流出控制體的質量為,于是，單位時間內在x方向流出與流入控制體的質

3、量差為,流入控制體的質量為,同理可得在單位時間內沿y，z方向流出與流入控制體的質量差為,故單位時間內流出與流入微元體流體質量總變化為：,和,⑵控制體內質量變化：,因控制體是固定的，質量變化是因密度變化引起的，dt時間內：,單位時間內，微元體質量增量：,,（微團密度在單位時間內的變率與微團體積的乘積）,⑶根據(jù)連續(xù)性條件：,,矢量形式：,——三維連續(xù)性微分方程,,⑴適用條件： 不可壓縮和可壓縮流體 理想和實際

4、流體 穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)流動⑵不可壓縮性流體的連續(xù)性微分方程：,,or,,說明流體體變形率為零，即流體不可壓縮?；蛄魅塍w積流量與流出體積流量相等。,,,,,⑶穩(wěn)定流動時：所有流體物性參數(shù)均不隨時間而變，,,,⑷二維平面流動：,2.理想流體的運動方程3.4.1---歐拉運動微分方程,理論依據(jù)：是牛頓第二定律在流體力學上的具體應用，它建立了理想流體的密度、速度、壓力與外力之間的關系。1775年由歐拉推出流體力學中心問題是流速

5、問題，流體流速與其所受到外力間的關系式即是運動方程。,推導過程：,⑴取微小六面控制體,,牛頓第二定律or動量定理：,⑵推導依據(jù)：,,即作用力之合力=動量隨時間的變化速率,⑶分析受力：,質量力：,單位質量力：,,X方向上所受質量力為：,表面力：,理想流體，沒有粘性，所以表面力只有壓力,,X方向上作用于垂直x軸方向兩個面的壓力分別為：,,X方向上質點所受表面力合力：,流體質點加速度,的計算方法：,,,流速的全導數(shù)應是：,當?shù)丶铀俣龋毫鲌鲋心?/p>

6、處流體運動速度對時間的偏導數(shù)，反映了流體速度在固定位置處的時間變化特性遷移加速度：流場由于流出、流進某一微小區(qū)域而表現(xiàn)出的速度變化率。,流體質點加速度,在三個坐標軸上的分量表示成：,,⑷代入牛頓第二定律求得運動方程：,得x方向上的運動微分方程：,,單位體積流體的運動微分方程：,,單位質量流體的運動微分方程：,,同理可得y,z方向上的：,,向量形式：,式中：,,——理想流體歐拉運動微分方程,適用條件：理想流體，不可壓縮流體和可壓縮流體,

7、（5）連續(xù)性微分方程和運動方程在求解速度場中的應用,這里以不可壓縮粘性流體穩(wěn)定等溫流動為例：連續(xù)性方程：,,運動方程：,,,1. 含有四個未知量 完整的方程組。2. 描述了各種量間的依賴關系。3. 通解、單值條件（幾何條件、物理條件、邊界條件、初始條件）→特解。即描述流體流動的完整方程組+單值性條件→描述某一特定流動。,,3. 伯努利方程 (Bernoulli),理想流體穩(wěn)定流動的伯努利微分方程,

8、由理想流體歐拉運動微分方程,是穩(wěn)定流動，vx,vy,vz，p都只是坐標函數(shù)，與時間無關，方程轉換去除t項,伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意義,,,推導得：,,Or,——伯努利方程微分形式。,說明： 流體質點在微小控制體dxdydz范圍內，沿任意方向流線流動時的能量平衡關系式。,①適用范圍：理想流體、穩(wěn)定流體、質量力只有重力且在微小控制體dxdydz范圍內沿某一根流線；②物理意義：揭示了沿某一根流線

9、運動著的流體質點速度，位移和壓強、密度四者之間的微分關系。,3.1 伯努利方程積分形式,1.沿流線的積分方程：,設：,,,Or,——理想流體微元流束的伯努利方程。,①適用條件：理想流體、不可壓縮性流體、穩(wěn)定流動、質量力只有重力，且沿某一根流線；②任選一根流線上的兩點：,,（流線變化了則C值變化）,③靜止流體：,靜止容器內任一點的z 與 P/r 之和為常數(shù)。,靜力學方程,物理意義及幾何意義：,z : 單位重量流體所具有的位能N·

10、;M/N ；（可以看成mgz/mg）P/r : 單位重量流體所具有的壓力能；,⑴物理意義：,,：單位重量流體所具有的動能；,三者之和為單位重量流體具有的機械能。,理解：質量為m微團以v,運動，具有mv2/2動能，若用,重量mg除之得v2/2g,理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)定流動時，沿流線or無旋流場中流束運動時，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和是常數(shù)，即機械能是守恒的，且它們之間可以相互轉換 。,物理意義：,⑵幾何意義：,z

11、：單位重量流體的位置水頭； （距離某一基準面的高度）P/r : 單位重量流體的壓力水頭，或靜壓頭； （具有的壓力勢能與一段液柱高度相當）,,: 單位重量流體具有的動壓頭or速度水頭,速度壓頭。,物理中：質量為m以,速度v垂直向上拋能達到的,最高高度為v2/2g,三者之和為單位重量流體的總水頭。,理想、不可壓縮流體在重力場中作穩(wěn)態(tài)流動時，沿一根流線（微小流束）的總水頭是守恒的，同時可互相轉換。,幾何意義：,3.2 伯努利方程的應用,可求

12、解流動中的流體v、P及過某一截面的流量；以伯努利方程為原理測量流量的裝置。皮托管（畢托管）：測量流場中某一點流速的儀器。皮托曾用一兩端開口彎成直角的玻璃管測塞那河道中任一點流速。,A點為駐點,總壓,⑴皮托管：,B點：A點前選一點不受玻璃管干擾的點；A--B認為是一條流線。,列沿流線AB上兩點的伯努利方程：,zA=zB,=0,,PB總=PA=r(H0+h) PB=rH0,總壓,靜壓,動壓,,在皮托管上再接一個靜壓管，即為