第一類曲線積分的計(jì)算

1、1第一類曲線積分的計(jì)算1、定義定義1：設(shè)為平面上可求長度的曲線段，為定義在上的函數(shù)對(duì)曲線L)yx(fL作分割T，它把分成n個(gè)可求長度的小曲線段，的弧長LL)n21i(Li??iL記為，分割T的細(xì)度為，在上任取一點(diǎn)(is?ini1smaxT????iLi?若存在極限).n21i)(i???Js)(flimiin1ii0T???????且的值與分割T及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為在上的第一J)(ii??)yx(fL型曲線積分，記作（1）.ds

2、)yx(fL?定義2：若為空間可求長曲線段，為定義在上的函數(shù)，則可類似地定L)yx(fL義在空間曲線上的第一型曲線積分為，)zyx(fLJs)(flimiiin1ii0T????????(此處為的弧長為一常數(shù))并且記作is?iLini1smaxT????J?L.ds)zyx(f（2）2、物理意義（1）設(shè)某物體的密度函數(shù)f（P）是定義在上的連續(xù)函數(shù)當(dāng)是直線段時(shí)，應(yīng)用??定積分就能計(jì)算得該物體的質(zhì)量?，F(xiàn)在研究當(dāng)是平面上某一可求長度的曲線?段

3、時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問題首先對(duì)作分割把分成n個(gè)可求長度的小曲線??段（i=1，2，…，n)，并在每一個(gè)上任取一點(diǎn)P由于f（P）為上的連續(xù)函i?i?i?數(shù)故當(dāng)?shù)幕￠L都很小時(shí)，每一小段的質(zhì)量可近似地等于f（P）其中i?i?i?i?為小曲線段的長度.于是在整個(gè)上的質(zhì)量就近似地等于和式?i?i??in1ii)P(f????35、第一型曲線積分的計(jì)算定理1設(shè)有光滑曲線：函數(shù)為定義在上的連續(xù)L??????ttytx????????????yxfL函數(shù)

4、，則（3）????????????.dtttttfdsyxf22L??????????定理2當(dāng)曲線由方程給出，且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)L????baxxy?????x???ba時(shí)，(5)????????dxx1xxfdsyxf2baL??????定理3當(dāng)曲線由方程給出，且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)L????dcyyx?????y???dc時(shí)(6)??????????????Ldc2.dyy1yyfdsyxf定理4設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，曲線的方

5、程為)yx(f????????0xxtyytttTzzt??????????則。??????????????0222Tltfxyzdsfxtytztxtytztdt?????????定理5設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，曲線的方程為)yx(f12()0()0xyzxyz???????則可化為以x為參數(shù)的參數(shù)方程。然后化為定理4的形式。。??????????0221Tltfxyzdsfxyxzxyxzxdx?????????定理6設(shè)函數(shù)在