第一類Fredholm積分方程數值算法的研究.pdf

1、第一類Fredholm積分方程的求解問題,是一類特殊的反問題,故具有反問題求解的特征即不適定性。為了得到穩(wěn)定的數值解,必須采用正則化方法解決該類問題。 本文的主要目的是求解不連續(xù)真解的一維第一類Fredholm積分方程,進而離散求解二維第一類Fredholm積分方程。為得到穩(wěn)定的數值解,對其積分核離散并用正則化方法求解,正則參數的選取采用L-曲線法和偏差原理。本文的焦點工作就在于第一類Fredholm積分方程的數值算法研究,傳統(tǒng)

2、的正則化方法只適合于連續(xù)真解問題的求解,因此,構造適合于不連續(xù)真解的問題求解的正則化方法就成為本文研究的難點問題和主體內容。 首先,給出Fredholm積分方程的基本模型和方法,闡述了該問題求解的困難所在；其次,對不連續(xù)真解的一維第一類Fredholm積分方程用全變差正則化求解；由于二維第一類Fredholm積分方程的離散問題一直以來沒有得到系統(tǒng)的解決,本文系統(tǒng)的描述了二維第一類Fredholm積分方程的離散,奇異值分解,選取正

3、則化參數,并求解。主要思想是結合系數矩陣的結構,將L-曲線法和偏差原理與正則化方法相結合,該類算法不僅適用于一維Fredholm積分方程,也可應用于二維第一類Fredholm積分方程的不適定問題。 大量的數值模擬和對實驗結果的分析,驗證了文中給出的全變差正則化算法求解一維不連續(xù)真解Fredholm積分方程是有效的也是可行的；求解非奇異核的二維第一類Fredholm積分方程依賴于核的變化及其真解的光滑度,此外,數據的擾動和網格的剖